VI. Dans la parabole

1® Les tangentes menées à la courbe par un point extérieur font des angles égaux avec la droite qui va de ce point au foyer et avec la parallèle à Vaxe^ intérieure à la courbe^ menée par ce même point extérieur ;

2^ La droite qui joint le foyer au point extérieur d'où sont issues les tangentes est bissectrice des rayons vecteurs menés aux deux points de contact des tangentes.

VII. La parabole peut être considérée comme la courbe limite d'une ellipse ou d'une hyperbole dans lesquelles, un sommet et un foyer voisin restant fixes, l'autre foyer s'éloigne indéfiniment du premier.

Ce théorème permet de déduire directement la plupart des propriétés de la parabole de celles de Tellipse ou de Thyperbole.

§ V. — Analogies de Tellipse, de l'hyperbole

et de la parabole.

144. Il ressort de ce qui vient d'être dit sur Tellipse, Thyperbole et la parabole que ces trois courbes présentent de nombreuses analogies. Il en est d'autres, dont quelques-unes vont faire l'objet du présent paragraphe.

I. Le lieu des points d'un plan pour chacun desquels les distances à un point fixe et à une droite fixe du même plan sont dans un rapport constant^ est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que ce rapport constant est inférieur, supérieur ou égal à Vunité,

Le point fixe est un foyer de la courbe et la droite fixe s'appelle directrice de cette courbe. A chaque foyer correspond une directrice, de sorte que pour Tellipse et l'hyperbole il y a deux directrices, tandis qu*il n'y en a qu'une pour la parabole. De ce théorème découle le corollaire qui suit : Le rapport constant des distances d'un point quelconque d'une ellipse ou d'une hyperbole à l'un des foyers et à la directrice correspondante est égal à l'excentricité de la courbe,

La nouvelle et commune définition de Tellipse, de l'hyperbole et de la parabole, contenue dans le précédent théorème, procède d'un mode unique de génération : elle établit donc déjà une origine commune qui leur a fait donner un nom commun^ celui de coniques, que le théorème suivant justifie. II. La section faite dans un cône de révolution par un plan qui ne passe pas par le sommet est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, suivant que le plan sécant rencontre toutes les génératrices du cône sur une même nappe, ou qu^il rencontre les deux nappes du cône, ou qu'il est parallèle à Vune des génératrices du cône,

La démonstration de ce théorème exige l'inscription au cône générateur de sphères tangentes au plan sécant. 11 y a deux sphères pour le cas de l'ellipse et de Thyperbole et une pour celui de la parabole. Les points de contact de ces sphères avec

les plans tangents donnent les foyers des courbes, et les intersections de ces mêmes plans avec ceux des cercleâ de contact des sphères inscrites, les directrices^ de ces mêmes courbes.

On démontre en outre cette proposition :

La section faite dans un cylindre de révolution par un plan oblique à Vaxe est une ellipse.

Mais en dehors d'une démonstration directe, ce fait est uae conséquence du théorème précédent en ce que le cylindre de révolution peut être considéré comme la limite d'un cône de révolution dont le sommet s'éloigne à l'infini sur son axe.

§ VI. — HéUce.

145. Définitions. — L'hélice estune courbe gauche, c'est-à-dire non plane, qui résulte de la transformation d'une droite tracée dans un plan lorsqu'on enroule ce plan sur une surface cylindrique de révolution.

Si Ton suppose le plan et la droite indéfinis, et la surface cylindrique limitée d'un côté par un plan perpendiculaire à ses génératrices, ce plan est dit la base de l'hélice, et le point où la courbe le rencontre s'appelle Vorigine de l'hélice.

Une génératrice quelconque du cylindre et l'hélice se rencontrent un nombre indéfmi de fois, et Ton démontre que les points d'intersection déterminent sur l'hélice des arcs égaux, que l'on nomme des spires, et sur la génératrice des longueurs égales, qui représentent chacune le pas de l'hélice.

Si la génératrice considérée passe par l'origine de Thélice, et si l'on coupe la surface cylindrique suivant cette génératrice pour la développer sur un plan, on obtient un rectangle indéfmi — c'est-à-dire deux droites parallèles perpendiculaires à une troisième droite — et une série de droites parallèles entre elles et obliques aux côtés de ce rectangle. En joignant sur ce développement, par une ligne droite, les extrémités de la première et de la deuxième oblique, qui représentent respectivement la fin de la première spire et le commencement de la deuxième, puis par une deuxième droite les extrémités de la

seconde et de la troisième oblique, qui représentent respectif vement la fin de la deuxième spire et le commencement de la troisième, et ainsi de suite^ on obtient une série de rectangles égaux ayant chacun, pour diagonale, et successivement, une des obliques parallèles du développement.

De là un second mode de génération, qui consiste à tracer d'abord cette figure plane pour Tenrouler sur le cylindre, en observant que la longueur commune de chaque rectangle doit être égale à la longueur de la circonférence de base du cylindre.

Comme Tenroulement du plan sur lequel se trouve tracée la droite du premier mode de génération — ou la série de rectangles du second — peut se faire dans deux sens opposés,, l'héliee est dite ^dexlrorsum lorsque pour un observateur placé suivant l'axe du cylindre, un point mobile la décrit dans le sens de gauche à droite en s'éloignant des pieds pour se rapprocher de la tête ; elle est dite sinistrorsum dans le cas contraire.

146. Propriétés de Thélice. — De ce qui précède il résulte que rhélice est déterminée par le rayon du cylindre et deux, points d'une même spire.

La définition de l'hélice conduit en outre à cette autre proposition : le plus court chemin entre deux points d'un cylindre est la portion d'hélice guipasse par ces deux points.

Si Ton appelle abscisse curoiligne d'un point de Thélice la projection circulaire, sur la base de la courbe, de la portion d'hélice comprise entre son origine et ce point; et ordonnée du point sa distance à la même base, on formule et Ton démontre le théorème suivant :

1. Dans l'hélice, r ordonnée d'un point est proportionnelle à son abscisse curviligne, et réciproquement.

D'où ce troisième mode de génération de la courbe, qui consiste dans le double mouvement uniforme d'un point qui tourne sur la surface cylindrique en se déplaçant longitudinalement.

Dans rhélice, on donne le nom de sous-tangente, en un point de la courbe, à la projection, sur le pian de la base, de la por-

tien de tangente à la courbe en ce point comprise entre ce plan de base et le point de contact.

La sous-tangente de l'hélice jouit de l'importante propriété qui suit :

II. Dan$ Vhélice^ la $ous-tangente est égale à Vabsciste curviligne.

De 'l'ensemble de ces deux premiers théorèmes on tire les conséquences :

1^ La tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génératrices du cylindre ;

2<> La portion de tangente à Vhélicc, comprise entre le point de contact et le plan de la base de la courbe^ a pour longueur celle de l'arc d'hélice compris entre ce même point de contact et l'origine de la courbe.

Cette dernière proposition fournit le moyen de mesurer un arc quelconque d'hélice^ A cet effet, on construit un triangle rectangle dont les deux côtés de Tangle droit sont respectivement égaux aux différences des deux ordonnées et des deux abscisses curvilignes des points extrêmes de Tare considéré : l'hypoténuse de ce triangle rectangle représente la longueur de cet arc.