CHAPITRE X

§ I. — PréUminaires.

147. Principales méthodes* — La Géométrie moderne emprunte ses moyens de recherche et de démonstration à la théorie des transversales et particulièrement à des méthodes de transformation des figures qui s'appuient pour la plupart sur la théorie des rapports anharmoniques .

Pour donner une idée de ces deux théories et de quelques-unes de ces méthodes, nous commencerons par revenir sur la convention adoptée dans un but de généralisation pour désigner un segment de droite.

148. Emploi des signes + et — . — Un segment de droite AB peut être parcouru par un mobile dans le sens AB ou dans le sens BA. On distingue les deux sens, en les désignant par les expressions de segment AB, dans le premier cas, et de segment BA, dans le second. Généralement le point A est appelé Vorigine du segment et le point B, Yextrémité.

Si sur une même droite ou sur des droites parallèles on a à considérer plusieurs segments, on convient d'appeler sens positif Vnn des deux sens dans lesquels ces segments peuvent être parcourus, et sens négatifVsLUire, On fait ensuite précéder le nombre qui exprime la mesure de chaque segment du signe + ou du signe —, suivant qu'il est parcouru dans le sens positif ou dans le sens négatif. L'expression ainsi obtenue s'appelle la valeur algébrique du segment.

Cette convention, qui nous a déjà servi de base pour arriver en Algèbre à la notion des nombres négatifs, permet de sim-

plifier les énoncés des questions, de rendre le raisonnement plus général et par suite de simplifier et de faciliter les démonstrations.

§ II. — Transversales.

149. Lorsqu'un triangle est rencontré par une transversale, c'est-à-dire par une droite qui en coupe les trois côtés considérés comme indéfinis, chaque point d'intersection détermine sur le côté correspondant deux segments qui ont ce point pour origine commune, et qui se terminent aux extrémités de ce côté. De plus, suivant que le point d'intersectioo se trouve sar le côté même du triangle ou sur son prolongement, ces deux segments sont de signes contraires ou de même signe, et par suite leur rapport est négatif ou positif.

Si Ton désigne par A', B', C les intersections respectives d'une transversale avec les côtés BG, AG, AB d'un triangle ABC, on démontre le théorème suivant dû au géomètre grec Ménélaûs:

I. Dans un inangle ABC, une transversale détermine sur Us trois côtés^ considérés comme indéfinis^ six segments qui satisfont à la relation

AB B^C C^A A'C ^ B'A -^ CB "" ' et, réciproquement, si trois points A', B', C^ déterminent sur les trois côtés, considérés comme indéfinis^ d*un triangle ABC, six segments qui satisfont à la relation précédente^ ces trois points sont en ligne droite.

On se sert de ce théorème pour démontrer, en particulier, que trois points de certaines figures sont sur une même droite, comme dans les exemples suivants :

i® Dans un triangle^ les intersections avec les côtés opposés^ considérés comme indéfinis, de deux bissectrices intérieui^es et de la bissectrice extérieure correspondant au troisième sommpt^ sont en ligne droite ;

^^ Dans un triangle^ les intersections avec les côtés opposés.

considérés comme indéfinis^ des trois bissectrices extérieures^ sont en ligne droite.

3** Dans un hexagone convexe ou non convexe inscrit dans uti cercle^ les trois points de rencontre des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Ce dernier théorème est dû à Pascal.

La théorie des transversales comprend un second théorème fondamental, que Ton attribue au géomètre italien Jean de Céva. Le voici :

11. Bans le plan d'un triangle ABC, les droites menées d'un point aux trois sommets déterminent sur les côtés ^ considérés comme indéfinis^ six segments qui satisfont à la relation

A'C B'A C'B et réciproquement, si trois droites issues des ti'ois sommets d'un triangle déterminent sur les côtés six segments qui satisfont à la relation précédente y ces trois droites se coupent en un même point.

Ce double énoncé suppose, comme précédemment, que les points d'intersection A', B', G se trouvent respectivement sur ies côtés, BC, AC et AB.

On se sert de ce théorème pour démontrer, en particulier, que trois droites de certaines figures concourent en un même point, comme dans les exemples suivants :

1** Dans un triangle, les trois bissectrices sont concourantes ;

2" Dans, un triangle^ les trois médianes sont concourantes ;

3* Dans un triangle^ les trois hauteurs sont concourantes;

4** Dans un triangle, les trois droites qui joignent les sommets -aux points de contact des côtés opposés avec un cercle inscrit sont concourantes.

§ ni. — Rapports anharmoniqnes.

150. Bapport anharmonique de quatre points. — Etant donn* s quatre points A, B, C, D situés en ligne droite, si Ton e: prime successivement les rapports des distances du troisi )me et du quatrième point à chacun des deux premiers^

DACZAT. — mAtHODOL. 52

— — et r=-^i le quotient du premier par le second de ces rap- CB DB

ports, "77^ : rr^, est ce qu'on appelle le rapport ankarmoni- GB DB

que des quatre points considérés. On le représente ordinairement par la notation (ABCD), où les points sont pris dans Tordre que nous venons d'indiquer.

Connaissant trois points A, B, C, sur une droite indéfinie, on peut généralement déterminer un quatrième point D sur cette même droite, de manière que le rapport anharmonique des quatre points ait une valeur donnée m.

La démonstration de cette proposition établit que m peat avoir une valeur quelconque, positive ou négative, à Texception des valeurs 0, -+1 et oo , pour lesquelles le point D se confondrait respectivement avec les points B^ G, A.

Une propriété importante du rapport anharmonique de quatre points est que sa valeur n'est pas changée par la per* mutation de deux points quelconques pourvu que Ton fasse aussi permuter les deux autres.