Rapport anharmonique d'un faisceau de droltea. — Un

ensemble de droites issues d'un môme point et situées dans un même plan porte le nom de faisceau. Le point commun est le centre du faisceau et les droites en sont les l'ayons.

1. Dans la rencontre d'un faisceau de quatre droites par une transversale quelconque^ le rapport anharmonique des quatre points d'intersection est constant.

Une conséquence immédiate de ce théorème est que le rapport anharmonique des quatre points d'intersection d'un faisceau de quatre droites par une transversale quelconque, parce qu'il est constant, est dit le rapport anharmonique du faisceau des quatre droites. Le faisceau étant formé par les quatre droites OA, OB, OC, OD issues du même point 0, le rapport anharmonique est représenté par Texpression (O.ABCD).

Lorsque deux transversales quelconques coupent un faisceau de quatre droites, la figure formée par les quatre points d'intersection de Tune de ces transversales peut être consi-

dérée comme la perspective de la figure formée par les quatre points d'intersection de Tautre, ou comme sa projection conique (155, 157) ; il s'ensuit, d'après le théorème précédent, que le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite est projectif. Cette propriété a une très grande importance en Géométrie moderne.

En rapprochant la définition du irapport anharmonique d'un faisceau de quatre droites des propriétés du rapport anharmonique de quatre points en ligne droite, on établit que la valeur du rapport anharmonique de quatre droites n'est pas altérée par la permutation de deux rayons quelconques, pourvu que l'on opère la permutation des deux autres.

II. Si deux faisceaux de quatre droites ont leurs angles respectivement égaux, leurs rapports anharmonigues sont égaux.

De là résultent ces deux conséquences :

1* Dans un cercle^ le rapport anharmonique du faisceau df* quatre droites obtenues en joignant un point quelconque 0 de la circonférence à quatre points fixes de cette circonférence est cons^ tant, quelle que soit la position du point 0,

On donne à ce rapport constant le nom de rapport anharmonique des quatre points ;

2** Dans un cercle, le rapport anharmonique des quatre points (Tintersection de quatre tangentes par une cinquième est constant et égal au rapport anharmonique des quatre points de contact.

Au premier rapport on donne le nom de rapport anharmonique des quatre tangentes.

m. Si deux faisceaux de quatre droites ont un rapport anharmonique égal et un rayon homologue commun^ les trois points d'intersection des autres rayons homologues^ considérées deux à deuXf sont en ligne droite.

IV. Si deux systèmes de quatre points en ligne droite ont un rapport anhai^monique égal et un point homologue commun, les trois droites qui joignent les autres points homologues ^ considérés deux à deux, se rencontrent en un même point.

Cette théorie des rapports anharmoniques peut servir à démontrer indifféremment que dans certaines figures trois

points sont en ligne droite, ou trois droites se coupent en un même point, comme dans les deux exemples suivants :

i® Dans un hexagone convexe ou non convexe inscrit dans un cercle^ les trois points de rencontre des trois couples de côtés opposés sont en ligne droite.

Nous avons déjà indiqué ce théorème comme pouvant être démontré par la théorie des transversales ;

i^ Dans un hexagone convexe ou non convexe circonscrit à un cercle 9 les trois diagonales qui joignent les sommets opposés le rencontrent en un même point.

Ce théorème est dû au géomètre Brianchon.

On pourrait multiplier ces applications, énoncer les théorèmes analogues de la Géométrie dans l'espace, et Ton verrait, comme pour ces deux exemples et les deux théorèmes III et IV qui les précèdent, qu'à chaque proposition relative à des points en ligne droite en correspond une autre se rapportant à des droites qui se rencontrent en un même point.

152. Principe de dualiié. — Il résulte de là que la Géométrie, à deux ou à trois dimensions, comporte deux espèces de propositions relatives, les unes à des points, les autres à des droites ou à des plans, et qui se correspondent deux à deux ; cette propriété remarquable de l'étendue figurée constitue le principe de dualité.

Deux propositions ou deux figures qui ont entre elles cette correspondance sont dites corrélatives.

En voici des exemples simples :

i^ Dans un plan :

a) Deux points déterminent une droite ;

b) Deux droites déterminent un point.

2<> Dans l'espace :

a) Deux points d'Herminent une droite ;

b) Deux plans déterminent une droite.

3<» a) Trois points non en ligne droite déterminent un plan ;

b) Trois plans non parallèles à une môme droite déterminent un point.

Il est à remarquer, dans les propositions corrélatives, qu'on passe facilement d'un énoncé ou d'une démonstration à l'autre. Bien plus, les figures comportent, d'après ce qui précède, deux modes de construction.

Exemples : 1^ Un triangle peut être construit avec la donnée de ses trois sommets ou celle de ses trois côtés ;

2** Une courbe peut être décrite par un point mobile, ou être l'enveloppe des différentes positions d'une droite mobile.