AB AC AD

On donne au segment AB le nom de moyenne harmonique des segments AC et AD, et l'on exprime ainsi que lorsque quatre points forment une division harmonique d'une droite, la distance de l'un d'eux à son conjugué est la moyenne harmonique des distances de ce même point à chacun des deux autres.

Cela dit, la relation (2) montre que l'inverse du nombre qui mesure la moyenne harmonique de deux segments est la moyenne arithmétique des inverses des deux nombres qui mesurent ces segments.

164. Faisceaux harmoniques. — Lorsque le rapport anharmonique d*un faisceau de quatre droites OA, OB, OC et OD est

égal à — i, on a ce qu'on appelle un faisceau haimonique. En d'autres termes, on désigne sous ce nom tout faisceau de quatre droites qui détermine une division harmonique surune transversale quelconque. Les deux rayons OC et OD sont dits conjugués harmpniques par rapport aux deux autres OA et OB, et l^on dit aussi qu'ils divisent harmoniquement Tangle AOB. Les deux rayons OA et OB sont, réciproquement, conjugués liarmoniques par rapport aux premiers, et divisent harmoniquement Tangle COD.

Du théorème I découle cet autre, qui démontre l'existence des faisceaux harmoniques :

"V. Etant donnés quatre points qui déterminent une division harmonique sur une droite^ si on les joint à un point quelconque extérieur à la droite ^ on a un faisceau harmonique.

\l. Lorsqu'un faisceau harmonique est coupé par une transversale parallèle à l'un des rayons^ les trois autres rayons déterminent des segments égaux sur cette transversale^ et réciproquement.

On déduit de ce théorème les corollaires suivants, qui sont la réciproque l'un de l'autre :

10 Dans un faisceau harmonique, si deux rayons conjugués se coupent à angle droit, ils sont les bissectrices de V angle des deux autres rayons et de son supplément;

2^ Les bissectrices d'un angle et de son supplément forment avec les côtés de l'angle un faisceau harmonique dans lequel les deux bissectrices sont deux rayons conjugués.

Vil. Etant donné un angle AOB, si par un point P pris dans son plan on mène une transversale quelconque^ le lieu du conjugué harmonique D du point P par rapport aux deux points où cette transversale coupe les deux côtés de l'angle^ est la droite OD conjuguée harmonique de la droite OP par rapport aux deux côtés OA et OB de l'angle.

Le point P, par lequel passent toutes les positions de la transversale, s'appelle pôle de la droite OD, et Ton donne à

cette droite OD le nom de polaire du point P par rapport aux droites OA et OB.

La manière d'être des deux droites conjuguées OP et OD fait que tout point de Tune a pour polaire Tautre. C'est aussi ce qui a lieu pour les deux autres droites OA et OB.

\llï. Etant donné un angle AOB, si par un point P pris dans son plan on mène deux transversales quelconques^ le lieu du point d'intersection des deux diagonales du quadrilatère formé est la polaire du point P par rapport aux côtés de Fangle,

Ce théorème fournit un moyen facile pour construire le conjugué harmonique d*un point par rapport à deux autres, et la polaire d'un point par rapport à deux droites qui se coupent.

Il permet en outre de démontrer très simplement la propriété fondamentale du quadrilatère complet.

Tout d*abord disons qu'on appelle quadrilatère complet la figure obtenue lorsque dans un quadrilatère ordinaire on prolonge les côtés opposés jusqu'à leurs points de rencontre. Dans un quadrilatère complet il y a six sommets (les quatre du quadrilatère ordinaire et les deux points de rencontre des côtés opposés), et trois diagonales qui unissent deux à deux les sommets opposés (les deux diagonales du quadrilatère ordint^ire et la droite qui joint les deux autres sommets).

Cela dit, voici l'énoncé de la propriété en question : IX. Dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmojiiquement par les deux autres.

§ IV. — Méthode des projeotiozis orthogoziales.

155. D'une manière générale, on appelle projection d*un point sur un plan le point de rencontre de ce plan par une droite * issue du point considéré. La droite s'appelle la projetante du point.

Si la projetante est assujettie à passer par un point fixe situé hors du plan, la projection est dite conique ou centrale] le point fixe est le centre de projection et la projetante est désignée par l'expression particulière de rayon projetant.

wjr^

Si la projetante est assujettie à être parallèle à une direction déterminée, la projection est dite oblique.

Enfin, si la projetante est assujettie à être perpendiculaire au plan de. projection, on dit que la projection est orthogonale.

Le deuxième mode de projection peut être considéré comme un cas particulier du premier, parce qu'il s'en déduit dans l'hypothèse que le centre de projection s'éloigne à l'infini dans la direction du rayon projetant. Le troisième mode, à son tour, est un cas particulier du deuxième, obtenu dans l'hypothèse que la direction donnée est normale au plan de projection.

Dans ce paragraphe, il ne sera question que de projections orthogonales.

D'après ce qui précède, on appelle projection orthogonale (Fune figure sur un plan, le lieu des projections orthogonales sur ce plan des points de cette figure.

156. En Géométrie moderne, la méthode des projections orthogonales a pour but de déduire des propriétés des figures, certaines propriétés de leurs projections.

Ses moyens reposent sur des théorèmes dont voici les principaux :