I. La projection orthogonale d'une droite est une droite

A moins que la droite ne soit perpendiculaire au plan, auquel cas la projection se réduit à un point.

II. Les projections orthogonales de segments d'une même droite sont proportionnelles à leurs segments respectifs.

III. Les projections orthogonales de deux droites parallèles sont parallèles.

IV. La projection orthogonale d*une tangente à une courbe est tangente à la projection de cette courbe^ en un point 'qui est la projection du point de contact de la courbe et de la tangente considérées.

'. l est ainsi à remarquer que certaines propriétés des figures ap >artiennent aussi à leurs projections (points en ligne droite, raj port constant des segments d'une droite, parallélisme de

deux droites, etc.) : c'est ce qu'on appelle les propriétés fh'ojectives des figures. Elles sont de deux sortes : les propriétés descriptives^ qui se rapportent à la situation des lignes, et les propriétés métriques, qui sont relatives à leur longueur. D'une manière générale, les propriétés descriptives des figures sont ordinairement projectives ; les autres ne le sont qu'en nombre limité (proportionnalité des segments de droite et de leurs projections, proportionnalité des surfaces planes et de leurs projections, etc.). Ainsi les longueurs des segments de droite, les grandeurs des angles, etc., sont en général altérées dans leurs projections.

Comme exemple d'application de la méthode, on peut prendre celui de l'ellipse, que Ton a déjà considérée (134, VIII) comme la projection orthogonale d'un cercle sur un plan oblique au sien.

Des propriétés suivantes du cercle :

i* Le cercle est une courbe qui a un centre ;

2** Le cercle est une courbe convexe ;

3» Au cercle, on peut mener deux tangentes par. un point extérieur ;

4^ Dans le cercle, le lieu des milieux des cordes parallèles à une même direction est une droite qui passe par le centre de la courbe et qu'on appelle diamètre ;

5^ Le cercle admet une infinité de diamètres ;

6o Dans un cercle, à chaque diamètre en correspond un second parallèle aux cordes que le premier divise en deux parties égales ;

7* Dans un cercle, le carré construit sur un rayon quelconque est constant ; etc.,

on déduit pour l'ellipse les propriétés correspondantes qui suivent :

1** Uellipse est une courbe qui a un centre ;

2<* V ellipse est une courbe convexe ;

3° A Vellipse, on peut mener deux tangentes par un point exiéiîeur ;

A^ Dans une ellipse^ le lieu des milieux des cordes parallèles

à une même direction est une droite qui passe par le centre de la courbe et à laquelle on donne le nom de diamètre ;

5® L ellipse admet une infinité de diamètres ;

6° Dans une ellipse y à chaque diamètre en correspond un second parallèle aux cordes que le premier divise en deux parties égales : ces deux diamètres sont dits conjugués l'un de l'autre ;

7® Dans une ellipse, le parallélogramme construit sur deux demi-diamètres conjugués est constant ; etc.

On peut encore déduire du cercle, par la méthode des projections orthogonales : l'expression de la surface de Tellipse, Textension à Thexagone inscrit dans une ellipse du théorème de Pascal relatif à Thexagone inscrit dans un cercle, un procédé très commode pour construire la tangente à Tellipse, etc.

II résulte de tout ce qui précède que cette méthode de transformation — et il en est de même des autres — a pour objet, étant données deux figures dont l'une est la transformée de Vautre, de déduire de la plus simple toutes les propriétés que la transformation n'altère pas pour les appliquer à la seconde sans antre démonstration.

De la sorte, on remplace des théorèmes et des problèmes distincts, qui demandent des démonstrations et des solutions spéciales et particulières, par des théorèmes et des problèmes généraux qui les groupent entre eux et dont les démonstrations et les solutions s'appliquent à toutes les questions qui en dérivent. D'autre part ces méthodes permettent, par les rapprochements des figures et de leurs propriétés, de découvrir très facilement des propriétés inconnues de certaines d'entre elles et de créer ainsi, autant qu'on le veut pourrait-on dire, de nouveaux théorèmes. En résumé, il y a donc, tout à la fois, généralisation et multiplication des propriétés relatives à Téten* due figurée par l'application des méthodes de transformation.

§ V. — Méthode des projections ooniques.

157. La projection conique d'un point s'appelle encore la perspective de ce point ; le centre de. projection prend alors le

nom de point de vue et le plan de projection celui de tableau. D'après cela, on appelleprojecHon conique ou perspective (Tuht figure sur un plan le lieu des projections coniques ou perspectives sur ce plan des points de cette figure. Le point où une droite rencontre le tableau est dit la trace de cette droite, et Tintersection d'un plan et du tableau s'appelle la trace du plan.

158. La méthode des projections coniques repose sur les principaux théorèmes suivants :

I. La perspective d'une droite est une droite. A moins que la droite ne passe par le point de vue, auquel cas la perspective se réduit à un point.

II. La perspective de deux droites parallèles entre elles et parallèles au tableau est formée de deux droites parallèles .

ïll. La perspective de deux droites parallèles^ obliques au tableau, est formée de deux droites concourantes^ et le point de concours est la trace sur le tableau de la parallèle menée par le point de vue à la direction des droites considérées.

IV. Les points de concours des perspectives de plusieurs groupes de droites parallèles^ de directions diverses^ mais parallèles à un même plan^ sont sur la trace duj)lan mené parallèlement au premier par le point de vue.

V. La perspective d'une tangente à une courbe est tangente à la perspective de cette courbe en un point qui est la perspective du point de contact de la courbe et de la tangente considérées.

Si les propriétés descriptives des figures restent projectives dans ce mode de projection, les relations métriques qui jouissent de la même prérogative deviennent moins nombreuses encore que dans le mode précédent : la proportionnalité des segments tie droite et des surfaces planes à leurs projections ne subsiste que dans le cas où le tableau est parallèle à la figure projetée ; mais la division harmonique reste projective dans tous les cas.

Gomme . application de la méthode, considérons les trois coniques. D'après ce que nous avons dit au sujet de leur origine commune, il résulte que la perspective d'un cercle, lorsque le point de vue est sur son axe, est une ellipse, une

hyperbole ou une parabole» suivant que le tableau fait avec Faxe du cercle un angle supérieur, inférieur ou égal au demiangle au sommet du cône de projection.

Il suit de là que des propriétés suivantes du cercle :

i"" Le cercle est une courbe convexe ;

2^ Au cercle, on peut mener deux tangentes par un point extérieur ;

3^ Dans le cercle, le milieu des cordes parallèles à une même direction est une droite qui passe par le centre de la courbe et qu*on appelle diamètre ;

4^ Le cercle admet une inûnité de diamètres, etc., on déduit pour les coniques les propriétés correspondantes qui suivent :

i** Une conique est une courbe convexe ;

2** A une conique, on peut mener deux tangentes par un point extérieur ;

3** Dans une conique^ le milieu des cordes parallèles à une même direction est une droite qui passe par le centre de la courbe et qu*on appelle diamètre. Dans la parabole^ le centre étant projeté à Vinfini, tous les diamètres sont parallèles entre eux et par conséquent à Vaxe de la courbe ;

4® Une conique admet une infinité de diamètres ; etc.

On peut encore étendre aux trois coniques certains théorèmes, comme celui de Pascal relatif à Thexagone inscrit dans un cercle.

Mais avant d'aller plus loin, définissons ce qu'on appelle droite de l'infini d'un plan et déterminons-en la perspective.

l.orsque deux plans sont parallèles, si Ton fait tourner Tun d'eux autour d'une de ses droites quelconques, les deux plans deviennent concourants ; mais si l'on effectue ensuite un mouvement inverse, la droite d'intersection s'éloigne de plus en plus et lorsque les deux plans redeviennent parallèles, on dit. encore qu'ils se coupent et que leur droite d*intersection est à l'infini. Or comme la droite autour de laquelle on a effectué ce double mouvement est quelconque, la droite de l'infini a aussi une direction quelconque. C'est ce qui fait dire que tous

les points à l'infini d'un plan sont sur une même droite^ dite droite de l'infini du plan, et dont la direction est indéterminée .

Il ressort de ce qui précède qu'on peut toujours rejeter à rinfinî la projection d'un point ou d'une droite d'une figure en choisissant comme tableau un plan parallèle à la projetante du point ou au plan projetant de la droite.

La perspective de la droite à Tinfini d'un plan est la trace du plan parallèle au premier mené par le point de vue.

Si dans un quadrilatère complet on fait application du procédé à la droite qui joint les points de rencontre des càiés opposés du quadrilatère ordinaire, ces points de rencontre se trouvant projetés à Tinfîni, les côtés opposés de ce quadrilatère deviennent parallèles et la figure prend la forme d'uo parallélogramme.

Ainsi par la méthode des projections coniques, un quadrilatère quelconque peut toujours être transformé en un paraUélogramme.

On tire de là une démonstration très simple d'un théorème précédemment énoncé : Dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres.

1S9. Homothétie. — A cette méthode on peut rattacher la théorie des figures homothétiques. Pour le montrer, donnons d'abord quelques définitions.

On dit que deux figures sont homothétiques lorsque les points de l'une étant respectivement joints aux points correspondants de l'autre par des droites, ces droites concourent toutes en on même point, et les distances sur chaque droite, prises dans le même sens^ du point de concours aux deux points qui se correspondent sur les deux figures, sont dans un rapport constant.

Deux points correspondants des figures sont dits homologues ; la droite qui les joint est un rayon vecteur; le point de rencontre de tous les rayons vecteurs est le centre d'homothétie, et le rapport constant des distances de ce centre à deux points homologues des deux figures est le rapport d'homothétie.

Si le centre d'homothétie est d'un même côté par rapport

PRaMIÈRES NOTIONS DE GÉOMÉTRIE MODERNE

aux deux figures, rhomothétie est dite directe; s'il est entre les deux figures, rhomothétie est dite inverse. Mais par une rotation de i80® de Tune des deux figures autour du centre d'homothétie, on peut passer du système direct au système inverse, et vice versa.

Cela dit, voici comment on peut faire dériver les figures homothétiques de la méthode des projections coniques.

Après avoir construit la perspective d'une figure plane, par exemple^ sur un tableau parallèle au plan de la figure, si Ton projette en outre orthogonâlement sur le tableau l'ensemble de la figure donnée et des rayons projetants, on obtient avec ces deux projections d'une même figure deux figures qui satisfont à toutes les conditions énoncées dans la définition précédente ; ce sont donc deux figures homothétiques.

Parmi les premiers théorèmes relatifs à rhomothétie, les principaux sont les suivants :

I. La figure homothéiique (fun segment de droite est un segment de droite parallèle au premier, de même sens ou de sens contraire, suivant que Vhomothétie est directe ou inverse, et ces deux segments sont dans un rapport égal au rapport d'homo^ thétie.

Ces deux portions de droites sont dites homologues.

On déduit de là :

1^ Za figure homothéiique d'un angle est un angle égal dont les côtés homologues sont parallèles^ de même sens ou de sens con-^ traire^ suivant que Vhomothétie est directe ou inverse ;

?* La figure homothéiique d'un polygone est un polygone semhlabUy et le rapport de similitude de ces deux polygones est égal au rapport d' homothétie ;

3** La figure homothéiique d'un cercle est un cercle et le rapport des rayons de ces deux cercles est égal au rapport d'homothétie ;

4® Les tangentes à deux courbes homothétiques en deux points homologues sont parallèleSy de même sens ou de sens contraire, suivant que rhomothétie est directe ou inverse.

II. Etant données deux figures, s'il existe deux points tels que

832 GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE THÉOBIQUE

les droites qui joignent Vun d'eux aux différents points de la première figure sont parallèles et proportionnelles aux droites qui joignent le second point aux différents points de la seconde figure^ les deux systèmes sont homothétiques^ directement ou inversement^ suivant que les droites parallèles sont de même sens ou de sens contraire y et le centre d'homotkétie est le point de rencontre de la droite qui joint les deux points considérés avec l'une queicon que des droites qui joignent deux à deux les points correspondants des deux figures.

Ce théorème a pour conséquences les suivantes :

4* Deux polygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homothétiques ;

2" Deux cercles situés dans un même plan sont directement et inversement homothétiques.

Les deux centres d'homothétie de deux cercles divisent harmoniquement la distance des centres.

m. Devj: figures homothétiques à une troisième sont homothétiques entre elles^ directement ou inversement^ suivant quavec la troisième elles sont homothétiques de la même manière ou de manières différentes ; et leur rapport d'homotkétie est le quotient des rapports d'homothétie de chacune d'elles prise avec la troisième*

Si les rapports d'homothétie des deux figures considérées prises chacune avec la troisième sont égaux, le rapport d'homothétie de ces deux figures est égal à Tunité et les deax figures sont égales.

De là cette conséquence qu'on peut, avec un même centre d'homothétie, construire toutes les figures homothétiques à une figure donnée, en faisant varier de zéro àTinfini le rapport d'homothétie.

IV. Si trois figures sont homothétiques deux à deux, les trois centres d'homothétie sont en ligne droite.

Cette droite s'appelle axe d^homothétie.

En considérant trois cercles situés dans un même plan, on montre, en les prenant deux à deux, qu'ils ont toujours trois centres d'homothétie directe et trois centres d'homothétie

inverse ; de plus, comme cooséquence du théorème précédent, les trois premiers centres sont sur une même droite, qu'on .appelle axe d'homothéiie directe^ et il en est de môme de deux centres quelconques d'homothétie inverse et du centre d'homothétie directe qui correspond au troisième centre inverse : chacune de ces droites, au nombre de trois, porte le nom à'axe d'homothétie inverse. Le nombre des axes d'homothétie est ainsi de quatre, un direct et trois inverses.

L*homothétie appliquée aux figures de l'espace comporte une série de théorèmes correspondants à ceux qui précèdent.

De tout cela il résulte que Thomothétie constitue un second mode de définition de la similitude des figures, avec cette double particularité cependant qu'elle s'étend aux figures quelconques, mais que dans l'espace l'homothétie directe seule donne des figures semblables. On conçoit dès lors que les centres, les axes elles rapports d'homothétie soient aussi désignés par les noms de centresy d'axes et de rapports de similitude,

160. Homologie. — On peut rattacher de la manière suivante, à la méthode des projections coniques, la théorie des figures homologiques, que l'on doit au général Poncelet.

Ëtant donnés deux polygones homothétiques, si l'on détermine la perspective de leur ensemble sur un même tableau oblique au plan commun de ces figures, les côtés homologues des polygones obtenus cessent d'être parallèles (138, III) et leurs points de rencontre sont sur une même droite (158, IV) ; de plus les rayons vecteurs qui joignent les points homologues restent concourants eti un même point.

Deux figures qui satisfont à ces conditions sont dites homologiques. Le point de concours des droites qui joignent les points homologues est le centre d'homologie et la droite où se rencontrent les côtés homologues est Vaxe dliomologie.

Mais les deux conditions d'intersection des côtés homologues des deux figures sur une même droite^ et de concours en un même point des droites qui joignent deux à deux les points homologues de ces mêmes figures, ne sont pas toujours nécessaires à la fois pour assurer l'existence de l'homologie ; ainsi;

HAUZAT. — MâTBODOL. 53

834 GÉOMÉTRIE ÉLÉMBNTAIRB THÉORIQUE

pour les triangles^ chacune d'elles entraîne Tautre. De là les deux théorèmes :

I. Si deux triangles ont toiLs leurs points homologues situés deux à deux sur des droites qui concourent en un même points ces deux triangles sont komologiques.

II. Si deux triangles ont leurs côtés homologues qui se coupent deux à deux sur une même droite^ ces deux triangles sont komologiques. '

En opérant la transformation inverse de celle qui nous a fait passer de Thomothétie à Thomologie, c'est-à-dire en projetant, par la méthode perspective, deux figures homologiques sur un plan choisi de manière que la droite qui contient les points de rencontre de leurs côtés homologues soit rejetée à rintini, Thomologie redevient homothétie.

La théorie des figures homologiques, que nous n'avons considérée ici qu'au point de vue des figures planes, s'étend aussi aux figures à trois dimensions.

§ VI. — Méthode des polaires réciproqaes.

161 . Nous avons déjà défini (154, VU) ce qu'on entend par pôle d'une droite et polaire d'un point par rapport à on angle ou deux droites qui se coupent; nous n'y reviendrons pas.

162. Pôle et polaire dans le cercle. — La définition de ces deux nouveaux termes découle du théorème suivant :

I. Si l'on mène, par un point P pris dans le plan d'un cercU, une sécante quelconque à ce cercle^ le lieu du conjugué harmonique du point P par rapport aux points d'intersection de la sécante et du cercle est une droite perpendiculaire au diamètre qui passe par le point P.

Cette droite est dite la polaire du point P par rapport au cercle, et le point P s'appelle le pôle de la droite. Quant à l'intersection de la polaire et du diamètre qui lui est perpendiculaire, elle reçoit le nom de pied de la polaire.

Il résulte de ces définitions et du théorème qui les précède les conséquences suivantes :

io Le rayon du cercle est moyen proportionnel entre les distatices du centre au point et à la droite qui sont respectivement le pôle et la polaire Vun de Vautre ;

2® Le pôle et la polaire sont toujours situés d'un même côté du centre du cercle ; si le pôle est à l'extérieur du cercle, la polaire coupe le cercle et coïncide avec la corde qui joint les points de contact des deux tangentes menées du pôle ; si le pôle est à l'intérieur du cercle 9 la polaire est extérieure ; si le pôle est sur la.^ circonférence du cercle^ la polaire est tangente au cercle en ce même point ; si le pôle vient à coïncider avec le centre du cercle^ la polaire est rejetée à l'infini^ et si le pôle s'éloigne^ au contraire^ à Vinfiniy la polaire devient un diamètre perpendiculaire à la direction suivant laquelle le pôle s'est déplacé.

II. La polaire de tout point situé sur une droite passe par le pôle de cette droite.

Et réciproquement, le pôle de toute droite qui passe par un point est situé sur la polaire de ce point.

De là quelques corollaires ^

i» Le point de rencontre des polaires de deux points est le pôle de la droite qui joint ces deux points.

2° Et réciproquement, la droite qui joint les pôles de deux droites a pour pôle le point de rencontre de ces deux droites.

III. Si l'on mènCy par un point P pris dans le plan d'un cercle^ deux sécantes quelconques à ce cercle, les quatre droites qui joignent deux à deux et des deux manières possibles^ les quatre points d'intersection^ se coupent sur la polaire du point P.

Ce théorème fournit un moyen facile de construire la polaire d'un point et, comme la polaire coïncide avec la corde de contact des tangentes issues de ce point, de mener ces tangentes.

163. Polaire* réciproques. — Un polygone quelconque et un cercle étant situés dans un même plan, si Ton construit par rapport au cercle les polaires des différents sommets du polygone, on forme un second polygone dont les sommets sont réciproquement les pôles des côtés du premier.

Ce fait résulte de la théorie précédente.

Deux polygones liés ainsi l'un à Tautre sont appelés polaires

réciproques et ron donne au cercle par rapport auquel on k déterminé les polaires, le nom de cercle directeur.

Comme exemple de ligures polaires réciproques on a celui de deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit à on cercle de manière que les sommets du premier soient les points de contact des côtés du second.

D'après ce qui précède, dans deux figures polaires réciproques, aux points et aux droites de Tune correspondent des droites et des points de l'autre ; aux points situés en ligne droite de Tune correspondent dans l'autre des droites qui concourent en un même point; et Ton démontre que le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite de Tune est égal à celui du faisceau des quatre droites correspon* dantes de l'autre .

Il suit de là que toute propriété relative soit à une série linéaire de points, soit à un faisceau de droites, a pour corrélative une autre propriété concernant des droites coucou* rantes ou des points en ligne droite. On passe d'un énoncé à l'autre par une simple permutation de termes et la démonstration de Tune des propriétés justifie la seconde.

C'est une nouvelle manifestation du principe de dualité dont il a déjà été question (152j.

Les deux théorèmes de Pascal et de Brianchon, relatifs, le premier, à l'hexagone inscrit au cercle^ et le second, à l'hexagone circonscrit, qui nous ont aidé à formuler ce principe, sont, d'après ce qui précède, deux théorèmes corrélatifs qui se déduisent l'un de l'autre par la méthode des polaires réci* prbques.

•Comme application de cette méthode, on peut déduire do théorème de Pascal une série d'autres propositions se rapportant successivement au pentagone, au quadrilatère et au triangle inscrits à un cercle, puis formuler à côté de chacune de ces propositions la proposition corrélative. Pour cela on fait dériver le pentagone de l'hexagone en supposant que dans le premier deux sommets consécutifs se sont rapprochés de manière à se confondre, mais on conserve le sixième côté qui

devient la tangente au cercle au sommet du pentagone, que l'on considère comme la réunion de deux sommets de l'hexagone. On fait dériver de la même manière le quadrilatère du pentagone^ le triangle du quadrilatère et Ton obtient ainsi une série de théorèmes corrélatifs deux à deux :

I. V Bans un pentagone y convexe ou non convexe ^ inscrit dans un cerchy le point de rencontre d'un côté et de la tangente menée par le sommet opposé^ et les points de rencontre des autres côtés pris deux à deux et non consécutivement^ sont trois points en ligne -droite.

2** Dans un pentagone, convexe ou non convexe^ circonscrit à un cercle^ la droite qui joint un sommet au point de contact du côté opposé et les diagonalc'i qui joignent les autres sommets pris deux à deux non consécutivement y sont trois droites qui se rencontrent en un même point.

II. 1® Dans un quadrilatère y convexe ou non convexe^ inscrit dans un cercle^ deux tangentes étant menées par deux sommets consécutifs^ les points de rencontre de chacune de ces tangentes -avec le côté non contigu qui passe par le point de contact de l'autre^ et le point de rencontre des deux autres côtés sont trois points en ligne droite.

2® Dans un quadrilatère, convexe ou non convexe^ circonscrit à un cercle^ deux côtés contigus étant considérés, les deux droites qui joignent chaque point de contact à V extrémité de Vautre côté^ et la droite qui joint les deux autres sommets opposés ^ sont trois droites qui se rencontrent en un même point.

III. i^ Dans un triangle inscrit dans un cercle, les trois points de rencontre de chaque côté avec la tangente menée par le som- 9net opposé sont en ligne droite.

â® Dans un triangle circonscrit à un cercle, les trois droites qui joignent chaque sommet au point de contact du côté opposé se rencontrent en un même point.

On pourrait déduire ainsi d'autres théorèmes de la méthode, comme aussi on aurait pu partir du théorème de Brianchon pour obtenir directement les propositions corrélatives à celles que nous avons fait dériver du théorème de Pascal et forinu-

838 GÉOMÉTRIB ÉLÉMENTAIRE THÉORIQUE

1er ensuite ces dernières par application de la méthode des polaires réciproques.

Toute cette théorie* des pôles et des polaires ainsi que la méthode qui en dérive s'étendent très avantageusement à Tétude des coniques.

§ Vn. — Méthode des figures inverses.

164. Avant d'exposer la méthode des figures inverses, nous croyons utile, pour une meilleure interprétation de ce qui va suivre, de donner d'abord une idée des axes radicaux.

165. Axes radicaux. — Lorsqu'on mène, par un point pris dans un plan, une sécante quelconque à un cercle, le produit des nombres qui mesurent les distances du point donné à chacun des points d'intersection est un nombre constant : on l'appelle pumance du point considéré par rapport au cercle. La puissance d'un point est positive ou négative, suivant que le point est extérieur ou intérieur au cercle. Dans le premier cas, la puissance est égale au carré de la tangente menée de ce point au cercle ; dans le second, elle est égale, en valeur absolue, au carré de la demi-corde perpendiculaire au diamètre qui passe par le point ; elle est nulle, lorsque le point est sur la circonférence.

Cela dit, on démontre les théorèmes suivants :

I. Le lieu des points d^ égale puissance par rapport à deux cerdts est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.

C'est à cette perpendiculaire qu'on donne le nom d'axe radical des deux cercles considérés.

L'axe radical de deux cercles est, d'après ce qui précède, le lieu des points d'où l'on peut mener des tangentes égales à ces deux cercles.

On déduit de là qu'il est équidistant des deux polaires de l'un quelconque des centres d'homothétie des deux cercles par rapport à ces mêmes cercles.

Comme conséquences de ces considérations et du théorème précédent; on a :

1** LiOrsque deux cercles se coupent ^ l'axe radical coïncide avec la corde commune;

2® Lorsque deux cercles sont tangents, Taxe radical coïncide avec la tangente commune ;

3** Lorsque deux cercles sont extérieurs ou intérieurs Vun à l'autre^ Vaxe radical est extérieur à chaque cercle ; si les cercles sont concentriques y Vaxe radical est à l'infini.

II. Les axes radicaux de trois cercles pris deux à deux se rencontrent en un même point.

Ce point s'appelle le centre radical des trois cercles.

On tire de ce théorème un moyen simple pour construire Taxe radical de deux cercles qui n'ont pas de point commun (Ml).

166. Figures InVerses. — On dit que deux fibres sont inverses Tune de Tautre lorsque toute droite issue d'un point fixe convenablement choisi rencontre ces deux figures en deux points tels que le produit de leurs distances au premier est une quantité constante.

Le point fixe s'appelle origine, les droites qui en partent soixt les rayons vecteurs, et le produit constant, la puissance d'inversion. Suivant que la puissance est positive ou négative^ les rayons vecteurs sont de même sens ou de sens contraires, c'est-à-dire que deux points correspondants sont d'un même côté ou de part et d'autre de l'origine.

Entre deux figures inverses Tune de l'autre, il y 9l réciprocité: elles peuvent, en effets se déduire réciproquement, la première de la seconde et la seconde de la première, en prenant la même origine et la même puissance d'inversion.

A la figure inverse d'une autre on donne aussi le nom de transformée par rayons vecteurs réciproques.

Par opposition à l'expression d'homologues qui désigne deux points ou deux droites homothétiques, on appelle antihomologués deux points inverses ou deux droites dont les extrémités de l'une sont inverses des extrémités de l'autre.

Les propriétés les plus générales des figures inverses sont les suivantes :

840 GÉOMÉraiE élémentaire théorique

I. La distance de deux points d'une figure inverse d*une autre est égale à la diUance des deux points correspondants sur cette autre f multipliée par le rapport de la puissance d'inversion nu\ produit des deux rayons vecteurs de la première figure,

II . Les tangentes à deux lignes inverses l'une de Vautre, en deux points correspondants^ font avec le rayon vecteur gui passe par ces deux points deux angles intérieurs égaux.

On déduit de là cette conséquence :

L'angle de deux lignes quelconques qui se coupent en un point déterminé est égal à l'angle des lignes inverses qui se coupent au point correspondant du premier.

Cette propriété, qui se traduit encore en disant que ïinversion conserve les angles, est des plus importantes dans cette méthode de transformation des figures.

III. Deux figures inverses d'une troisième par rapport à une même origine sont homothétiques ; le centre d'homothétie est cette origine ; le rapport d'homothétie est égal au rapport des deux puissances d'inversion ; et Vhomothétie est directe ou inverse suivant que ces deux puissances sont de même signe ou de signes contraires.

Ces théorèmes généraux énoncés » en voici quelques-uns qui se rapportent à la droite et au cercle.

IV. La figure inverse d'une droite est un cercle qui passe par l'origine.

Et comme deux figures inverses sont réciproques :

La figure inverse d'un cercle qui passe par l'origine est une. droite perpendiculaire au diamètre mené par l'origine .

On en déduit qu'une droite et un cercle peuvent toujours être considérés, lorsqu'ils sont situés dans un même plan, comme inverses Tun de Tautre.

Une droite est elle-même son inverse lorsqu'elle passe par Torigine.

V. La figure inverse d'un cercle, quand l'origine n^est pas sur

la courbe, est un cercle.

Mais rinverse du centre de l'un quelconque des deux cercles n'est pas le centre de l'autre ; c'est le pied de la polaire de l'origine par rapport à ce dernier cercle.

De ce théorèaie découlent les corollaires suivants :

1® DetLX cercles quelconques peuvent toujours être considérés^ lorsqu'ils sont situés dans un mêrne plan^ comme inverses l'un de l'autre ;

2® Deux cordes antihomologues de deux cercles se coupent sur Paxe radical de ces cercles ;

3^ Les tangentes en deux points antihomologues de deux cercles se coupent sur Vaxe radical de ces cercles.

Comme applications, larméthode des figures inversés permet* de trouver des propositions nouvelles par la transformation de propositions connues, de simplifier ou de rendre plus élégante la démonstration de certains théorèmes, enûn de résoudre par des constructions simples toute une catégorie de problèmes relatifs aux droites et aux cercles sécants ou tangents entre eux.

La théorie des axes radicaux et celle des figures inverses s'étendent aux figures de l'espace et trouvent particulièrement leurs applications dans Tétude des questions relatives à des systèmes de plans et de sphères.