CHAPITRE I

DE GÉOMÉTRIE

168. En Géométrie, comme en Arithmétique et en Algèbre, la démonstration d'un théorème consiste à établir parle raisonnement que la conclusion de renoncé de ce théorème est une conséquence logique de Thypo thèse.

Aussi, avant toute démonstration, faut-il distinguer très nettement Tune de l'autre cette hypothèse et cette con- <îlusion, se rendre un compte exact de leur véritable sens, en se reportant, pour chacun des termes qui les expriment, à celle des définitions qui convient le mieux dans la circonstance ; en d'autres termes, avoir une connaissance précise du point de départ et de celui où l'on doit aboutir.

La démonstration d'un théorème est quelquefois bien simple ^t bien rapide; elle se fait pour ainsi dire d'une manière immédiate, sans complication de la figure qui en traduit graphiquement l'énoncé, quelquefois même sans faire usage d'aucun calcul, en se présentant comme le corollaire d'une ou d'un très petit nombre de propositions connues. Mais il n'en est pas toujours ainsi. En général, des constructions auxiliaires sont nécessaires ; très souvent, le calcul doit intervenir ; quelquefois l'ensemble des constructions et du calcul devient indispensable ; enfin il arrive que la démonstration ne peut se faire que par l'établissement d'une série de propositions qui s*enchatnent analytiquement ou synthétiquement entre elles et avec celle qui est à démontrer.

De là plusieurs méthodes ou procédés pour la démonstration des vérités géométriques. Nous allons passer en revue

les principaux d'entre eux en les appliquant successivement à quelques exemples.

§ I. — TransformationB et combinaisona d'égalités.

169. I. Dans un système de quatre droites qui se coupent deux à deux^ de manière à former une figure fermée tangente par ses côtés ou leurs prolongements à un cercle^ la somme de deux côtés opposés ou adjacentSy suivant le cas, est égale à la somme de$ deux autres côtés,

V Le système fermé des quatre droites est tangent au

cercle par ses quatre côtés.

Soit ABCD (fig.S) ce système. Désignons par Ë, F, G, H les points de contact I

On a AE = AH,