CHAPITRE V

§ I. — CSonsidérations générales.

94. Génération des nombres fractionnaires. — Jusqu*ici nous nous sommes exclusivemenf occupés des nombres envisagés comme des collections d'unités.

Si maintenant l'on considère une ou la réunion de plusieurs parties égales de l'unité, on a ce qu'on appelle une fraction.

Ainsi présentés, le nombre et la fraction paraissent avoir des origines différentes et devoir rester distincts et séparés dans le calcul. 11 n'en est rien pourtant, parce qu'on peut leur trouver des modes communs de génération qui permettent d'étendre l'idée et la dénomination de nombre aux fractions. Un de ces modes réside dans la mesure des grandeurs mathématiques.

On donne le nom de grandeurs mathématiques à toutes les grandeurs mesurables directement ou par réduction, telles que les longueurs, les surfaces, les volumes, les poids, etc. ; et mesurer une de ces grandeurs, c'est la comparer à une autre de même nature, dont le choix peut être arbitraire, et qui joue le rôle ÔL^unité,

Or, dans la mesure d'une grandeur, il peut arriver : 4** que cette grandeur contienne un nombre exact de fois l'unité : l'expression de la mesure est alors ce même nombre ; 2* que la comparaison de cette grandeur à l'unité donne un reste, et que ce reste contienne un nombre exact de fois une certaine

NOMBRES FRACTIONNAIAES 65

partie aliqaote de Tunité : la mesure s'exprime dans ce cas par le nombre de fois que cette partie aliquote est coutenae d&Ds Tunité et par le nombre de fois que l'une d'elles est contenue dans la grandeur à mesurer, et cette expression est une fraction ; 3** que la grandeur ne contienne exactement aacone des parties aliquotes de Tunité, quelque petites qu'on les considère : nous examinerons ultérieurement ce troisième cas (138).

Ainsi, d'après ce qui précède, les fractions et les nombres considérés en tant que collections d*unités peuvent être formés de la même manière, et c'est pour cette raison d'origine commune^ que, par extension de Tidée de nombre aux fractions, on a donné à celles-ci le nom de nombres fractionmre$^ et que pour les distinguer des nombres collections d'unités, ceux-ci sont particulièrement appelés des nombres enfifri.

11 est facile de remarquer, toutefois, que les deux modes de génération des nombres entiers et des nombres fractionnaires ne sont pas très différents Tun de l'autre. Dans l'expression de la mesure d'une grandeur, un nombre représente encore à TTai dire une collection d'unités, et le nombre fractionnaire on certain nombre de parties égales de l'unité.

Il est à noter, en outre, qu'une grandeur déterminée peut être représentée par une infinité de nombres, en raison du choix arbitraire que l'on peut faire de l'unité.

Enfin, il y a quelque utilité à faire remarquer ici que les nombres concrets^ précédemment définis (27), représentent de Téritables grandeurs.