AD-^BE+CP> AB-^BC+CA

C*est la seconde partie de la démonstration. Si l'on rapproche Tune de l'autre les deux inégalités (I) et (8), on a la traduction algébrique du théorème :

AB4-BC4-CA>AD-hBE + CF> A5±^f--^CA

ou bien, en remplaçant les trois côtés du triangle par les lettres «, i, c, et les trois médianes correspondantes à ces côtés par les lettres m, m' et in\ pour rendre plus expressive

cette double relation,

173. II. Dans un angle trièdre^ la somme des angles dièdres est comprise entre deux droits et six droits (*).

Soieut A, B» G les angles dièdres d'un trièdre et a\ b\ d les faces du trièdre supplémentaire.

Gomme on sait que la somme des faces de tout angle trièdre est comprise entre zéro et quatre droits, on peut écrire, pour )e trièdre supplémentaire du proposé,

0<a'-+-6'-4-c' <4dr.

En remplaçant dans cette double relation les quantités ci y h\ d par leurs valeurs respectives en fonction des dièdres A, B, G du trièdre considéré, et qui sont

2dr-A, 2dr — B, 2dr — G,

il vient 0 < 2dr — A -h 2dr — B -4- 2dr — G < 4dr,

ou, en changeant les signes de tous les termes et le sens des deux inégalités,

0 > A H- B -+- G — 6dr > — 4dr,

et, en ajoutant 6dr à chacun des membres de ces inégalités,

6dr>A-hB-+-G>2dr.

174. III. Dans une ellipse^ un diamètre quelconque est plus petit que le grand axe.

Soit MM' un diamètre quelconque de Tellipse 0 (fig, 9) ;

joignons-en les extrémités à chacun des foyers : la figure MF'M'F. ainsi formée est un parallélogramme puisque, par hypothèse, les deux diagonales MM' et FF' se coupent en parties égales au point 0. On a donc Fig. 9. FM' = F'M. Cela posé, dans le tri-

angle MFM' on a

(^) Théorème précédemment énoncé (96, VU).

MM' < FM -h FM',

OU; d'après ce qui précède,

MM' < FM H- F'M, ou ennn, MM' < AA'.

§ III. — Démonatraiions analsrtlqaes.

175. 1. Les trois hauteurs d'un triangle se coupent en un même point (*).

Soient le triangle ABC et ses trois hauteurs AD, BE et CP

{fig, 40).

Si par chaque sommet da triangle on mène une parallèle au côté opposé, on forme un nouveau triangle GHI dans lequel les milieux des côtés sont marqués par les sommets du premier triangle.

Considérons, en effet, dans ce triangle, un côté quelconque GH ainsi que les deux parallélogrammes ABCG et AHBC, qui résultent des précédentes constructions auxiliaires et dans lesquels la somme des côtés GA de Tun et AH de l'autre est égale à GH ; on a successivement

GA = BC et AH = BC,

d'où GA = AH.

On a de même pour les deux autres côtés du triangle GBl

HB = Bï, IG = CG.

Il suit de là que les hauteurs du premier triangle deviennent les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du second.

Fig. 10.

(«) Théorème précédemment énoncé (149, II).

MÉTHODES DE DÉ!aONSTRATION DES THÉORÈMES

La queslion est donc ramenée à la démonstration de la proposition suivante :

laes perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés d'un triangle se coupent en un même point.

Sur la figure précédente, et dans le triangle GHI, considérons deux de ces perpendiculaires, AD et BE par exemple. Elles se rencontrent comme étant respectivement perpendiculaires à deux droites concourantes BC et CA^ et leur poiot d'intersection Ô se trouve à égale distance, d'une part, des sommets G et H du triangle, comme appartenant à la perpendiculaire AD, d'autre part des sommets H et I, comme appartenant à la perpendiculaire BE. Il s'ensuit que les deux distances du point 0 aux sommets G et I, égales chacune à la distance du même point 0 au sommet H sont égales entreelles et que le point 0 appartient à la perpendiculaire GF élevée isur le milieu de Gl.

Les trois perpendiculaires considérées se coupent donc en un même point et il en est de même des hauteurs du triangle de la question proposée.

176. II. Le quadrilatère obtenu en joignant par des ligna droites les milieux consécutifs des côtés d'un losange est un rectangle. Soient un losange ABGD (fig. 11) et le quadrilatère EFGH

obtenu en joignant par des droites les milieux consécutifs de ses côtés. Il s'agit de démontrer que ce quadrilatère est un rectangle.

Pour cela, menons les diagonales du losange et remarquons que les côtés opposés EF et GH du quadrilatère considéré, qui divisent respectivement en deux parties égales, dans te losange, les côtés AD et DC d'une part, AB et BC de l'auti'e, sont parallèles Tun et l'autre à la diagonale AC, et par suite sont parallèles entre eux. Il en est de même des deux autres côtés opposés EH et FG. Le quadrilatère EFGH est donc un

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE PRATIOUE

parallélogramme. Pour qu'il soit rectangle, il faut et il snfDt qu'un de ses angles soit droit ; et comme ses angles sont égaux deux à deux aux angles formés par les diagonales du losange, d'après le parallélisme de chacune des diagonales et de deux côtés opposés du parallélogramme, la question revient à démontrer la proposition suivante :

Le$ diagonales du losange se coupent à angle droit (*).

Pour établir cette proposition, considérons deux sommets opposés du losange, B et D par exemple ; par hypothèse. Us sont équidistants des deux autres A et C et par conséquent la droite BD qui les joint est perpendiculaire au milieu de ÂC

Les deux diagonales du losange se coupent donc à angle droit, et le théorème proposé est ainsi démontré.

177. III. Les trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d*un tétraèdre se coupent en un même points qui est le milieu de chacune d'elles»

Soit (fig. 12) le tétraèdre ABGD dans lequel il s^agit de

prouver que les trois droites EF, GH, IJ, qui joignent les miliein de ses côtés opposés, se coupent en un même point.

Si Ton peut établir que deux quelconques de ces droites se coupent, et que leur point d'intersection les partage chacune en deux parties égales, il s^ensuivra que la troisième passe par ce même point. La question est donc ramenée à la suivante : Des trois droites qui joignent les milieux des arêtes opposées

(*) Théorème précédemment énoncé (31, IV).

d*un tétraèdrey deux quelconques se rencontrent et se. coupent respectivement en deux parties égales.

Considérons les droites EF et GH qui joignent les milieux des arêtes opposées AB et CD, BG et DA et joignons-en consécutivement les extrémités par des droites : nous formons ainsi un quadrilatère EGFH.

Si Ton peut établir que cette figure est un parallélogramme, il s*ensuivra que les droites EF et GH se couperont en leur milieu comme en étant les diagonales.

A son tour, cette question est donc ramenée à la suivante ':

Les milieux des quatre arêtes d'un tétraèdre issues des extrémités de Tune quelconque des deux autres sont les sommets d'un parallélogramme.

Les deux droites EG et HF sont toutes deux parallèles à Tarète AC et égales à sa moitié, comme divisant en deux parties égales, Tune, les c6tés AB et BC de la face ABC, et l'autre, les côtés AD et DC de la face ADC.

Le quadrilatère EGFH est donc un parallélogramme.

Il en résulte, en remontant de proche en proche au théorème proposé, que les deux droites EF et GH se coupent en deux parties égales et que la troisième droite IJ passe par leur point de rencontre et y est divisée de la même manière.

§ IV. — DémonstratlonB esnithéticpies.

178. Les démonstrations synthétiques sont nombreuses dans renchainement des propositions et des théories géométriques ; c^est du reste la méthode généralement suivie pour l'exposition de la science de l'étendue. Mais il en est deux entre toutes qui sont particulièrement à signaler : celles qui sont relatives à rétablissement de Taire et du volume de la sphère.

Pour arriver en effet à Texpression de Taire sphérique, on exprime successivement Taire engendrée par la révolution entière :

i^ D'une portion de droite autour d*un axe avec lequel elle est dans un même plan et qu'elle ne traverse pas ;

GÉOUÉTKIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

2* D'une ligne polygonale régulière autour d'un axe situé dans son plan, extérieur- à cette ligne et passant par sod centre ;

3<> D'un arc de cercle quelconque autour d'un de ses diamètres qu'il ne traverse pas ;

4"^ Enfin d'une demi-circonférence autour de son diamètre.

Pour l'établissement du volume de la sphère^ on a une démonstration pour ainsi dire parallèle, dans laquelle od exprime successivement lé volume engendré par la révolution entière :

* !• D'un triangle autour d'un axe situé dans son plan, passant par un de ses sommets et ne le traversant pas ;

2o D'un secteur polygonal régulier autour d'un axe situé dans son plan, extérieur à sa surface et passant par son centre ;

3° D'un secteur circulaire autour d'un diamètre extérieur ;

4® Enfin d'un demi-cercle autour de son diamètre.

Voici deux autres exemples :

17.9. i. La somme des distances d'un point quelconque pris à l'intérieur d^un triangle équilatéral aux trois côtés du triangle est constante.

Pour démontrer cette proposition on établit d'abord la suivante :

La somme des distances d*un point quelconque pris sur la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés du triangle est constante.

Soient le triangle isocèle ABC (/îgf. 13), un point M quelconque

pris sur sa base AB, et MD, ME, les perpendiculaires menées de ce point aux' côtés jégaux du triangle.

On conçoit que si le point M se dé-r place et se rapproche de plus en plus de l'un des sommets, de B par exemple, la distance ME tend vers zéro et l'autre tend vers la distance de B à AC. On 68t donc ainsi conduit à tracer comme première ligne auxiliaire la perpendiculaire BF à AC, et si par le point M on mène la

parallèle M6 à AC» on forme d'une part, le rectangle DMGF\

dans leqael on a