ATB B'C CA

A'C^fÂ^C'B"*^^'

A', B', C représentant les intersections de la transversale avec les côtés BC^ AC, AB du triangle.

Remarquons d*abord qu'une droite ne peut traverser un triangle que de deux manières : ou bien elle rencontre deux côtés et le prolongement du troisième, ou bien elle rencontre les prolongements des trois côtés. Or, d'après la convention sur les signes des segments, dans le premier cas, deux des rapports contenus dans la relation à établir seront négatifs et

(^) Théorème précédemment énoncé (149, II). (S) Théorème précédemment énoncé (149, I).

le troisième positif, et dans le second cas, les trois rapports seront positifs ; de sorte que dùis.les deux cas le produit des

trois rapports sera positif. Il ne reste donc qu'à prouver que ce produit, dans un des cas, est égal en valeur absolue à rumté.

Soient le triangle ABC {fig.

15) et la transversale Â'C. Par

l'un des sommets du triangle,

G par exemple, menons au côté opposé la parallèle CD, qui

rencontre la transversale au point IX

Les deux triangles semblables BA'C et CAD donnent

A^B^CB A'C ^ DC ' Des deux autres triangles semblables B'CD et B'AC on obtient