V. — Démonstrations par la réduction à l'absurde

181. Ce genre de démonstration ne manque pas de rigueur; néanmoins on lui préfère en général les modes directs de raisonnement et nous conseillons, de notre côté, de ne pas en abuser.

Voici quelques exemples auxquels on peut l'appliquer.

182. 1. Deux droites perpendiculaires à une troisième sont parallèles {^) ,

Si elles ne sont pas parallèles, elles sont concourantes, et de leur point d'intersection on pourrait mener à une droite deux perpendiculaires distinctes, ce qui est impossible.

183. II. Un polygone convexe ne peut avoir plus de trois angles aigus, '

Supposons qu*un polygone convexe puisse avoir quatre angles aigus, par exemple, il s'ensuivra que les angles extérieurs de ce polygone, qui ont même sommet que ces angles aigus et qui en sont les suppléments, seront tous les quatre obtus. Leur somme serait donc supérieure à quatre angles

(^) Théorème précédemment énoncé (28, I).

droits» ce qui est contraire à cette vérité que la somme de toiis les angles extérieurs d'un polygone convexe est égale à quatre angles droits.

184. III.. Si dans un même cercle ou dans des cercles égaua-yOn considère deux cordes inégales qui sous^tendent des arcs plus petits qu'une demi-circonférence^ ces deux arcs sont inégaux et le plus grand est sous-tendu par la plus grande corde.

Soient, dans le cercle 0 {fig. 17)t deux cordes inégales AB

et CD, telles que Ton a AB<CDet qui sous-tendent les arcs respectifs AME et CND, tous les deux inférieurs à une demi-circonférence;. 11 s'agit d'établir comme conséquence de ces données la relation arc AMB < arc. CND.

Avant (le démontrer cette proposition qui est une question de cours, et qui est présentée sous celte forme ou sous une autre, on établit le, théorème II (39), dont elle est une partie de la réciproque.

Gela étant, entre les deux arcs considérés il ne j^eut y avoir qae trois relations possibles de grandeur : ou Tare AMB est égal à l'arc CND, ou il est plus grand, ou il est plus petit.

Si Tare AMB était égal à Tare CND, les deux cordes seraient égales, ce qui est contraire à i'hypothèse.

Si Tare AMB était plus grand que Tare CND, les deux cordes seraient bien inégales, mais oaaurait AB >> CD, ^ ce qui est encore contraire à l'hypothèse.

De Fabsurdité de ces deux suppositions, il s*ensuit donc que là troisième seule est admissible, c'est-à-dire que Ton doit avQir AB < CD.

§ VI, — Méthode des Umites.

185. Nous avons vu ce qu'on entend par limite d'une grandeur yariable, à propos de la mesure de la circonférence, de

Taire da cercle, de Taire latérale ainsi que du volame du cylindre et du cône, de Taire et du volume de la sphère.

Pour traiter chacune de ces questions on fait usage de la méthode des limites, c'est-à-dire qu'à la mesure des grandeurs considérées on substitue celle d'autres grandeurs variables d*an ordre plus simple, qui ont les premières pour limites, et Ton passe ensuite des relations ou des formules qui s'y rapportent aux relations et aux formules qui ont trait aux premières, par la substitution des limites aux variables.

Si dans toutes ces questions une grandeur variable d'ordre plus simple que celle dont il s'agit d'obtenir la mesure a pu se présenter naturellement à Tesprit (périmètre ou aire d'un polygone régulier pour la circonférence et le cercle, aire latérale ou volume d'un prisme droit régulier pour Taire latérale ou le volume d'un cylindre circulaire droit, etc.), et fournir pour l'évaluation de sa mesure une expression algébrique très simple et finie, fonction de ses seuls éléments ordinaires, il n'en est pas toujours ainsi, et bien souvent la mesure de la variable se présente algébriquement sous la forme d'une somme indéfinie de quantités très petites qui décroissent chacune indéfiniment en se rapprochant sans cesse de zéro.

Nous allons en donner deux exemples.

186. 1. L'aire de r ellipse a pour mesure le produit de ses deux

demi-axes par le nombre •»«.

Soit une ellipse {fig, 18), sur le ^grand axe de laquelle on décrit son eercle principal.

Considérons dw&x ordonnées de celte ellipse, MP et MiPi, perpendiculaires au grand axe et très rapprochées Tune de l'autre ; en les. prolongeant jusqu'à leur rencontre en M' et Ht avet le cercle,et en menant par les piints M| et M2 des parallèles Mjm et M[m' au grand axe, on forme deux rectangles mMiPiP et m'MÏPiP qui ont même base PPt et

Fig. 18.

ponr hanteurs respectives les ordonnées M|Pt et M/P| de Tellipse et da cercle. Ces deux rectangles sont donc entre eux comme leurs hauteurs et permettent d'écrire

mMjPjP MjPt m'M;P,P " MÎP4 '

Or on sait que le rapport * * est égal à — (134, VIII),

b ei a représentant les moitiés du petit et du grand axe de

l'ellipse .

mMiP.P b

On a donc

m'M'tPiP a

ou mM,P,P = — m'MjTiP,

et si l'on représente pour abréger par So le rectangle mMtPiP et par S'o le rectangle m'Il'iPiPy cette dernière relation pourra s'écrire

a Si Ton considère une troisième ordonnée M sP, perpendiculaire au grand axe et très rapprochée de MiPs en la prolongeant jusqu'en Ut et menant les parallèles M'stn't et Htmi au grand axe on déterminera deux nouveaux rectangles qui donneront

mjMjPiP, = — mîMiPjP, ;

ou, en représentant ces deux rectangles par les notations

respectives Si et S/,

Si ^ — Si • a

Et en continuant ainsi on aurait successivement

Sf î= — Si, a

b Sa = — SI, etc.

En additionnant membre & membre toutes ces égalités, il irient

\ S«H-Si-HS,-+-Sj-t-... = — (SJ + S',-+-Si-+-Si-t-.,.)

^64 GÉOMÉTRIE ÉLÉMEMTAIRB PRATIQUE

Supposons que Tod ait ainsi divisé les surfaces entières de Tellipse et du cercle principal en petits rectangles, et qu'on e& fasse croître le nombre indéfiniment par une diminution continue de la longueur des bases ; il s*ensuivra que les deux sommes Sa-+- Si-+-Si-i-Sa-+- . .. et SJ-hSIn-SJ -h Si-f- ... se rapprocheront respectivement de plus en plus de Taire de i'ellipse et de Taire du cercle et qu'à la limite, c>st-à-dire lorsque ces bases tendront vers zéro, la première somme tendra à se confondre avec Taire de Tellipse, et la seconde avec Taire du cercle. On aura donc alors, en représentant par S et S' Taire de Tellipse et Taire du cercle,

S = — sr.

Or comme S' est égal à Tca*, Taire de Tellipse a pour expression

S = -Tra», a

ou S = 7ca6.

187. II. Le volume engendré par la révolution entière d'un^ surface plane quelconque autour d'un ojce extérieur ^itué dam son plan a pour mesure le produit de son aire par la circonftrence que décrit son centime de gravité.

Pour démontrer cette proposition, due à Guldin, mathématicien du commencement du XVIl® siècle, quelques notions préliminaires sont indispensables.

En Mécanique, on appelle centre de gravité d'un corps le point d'application de la résultante de toutes les actions qu'exerce la pesanteur sur les éléments matériels dont se compose ce corps.

Lorsqu'une des dimensions du corps est très petite par rapport aux deux autres, comme dans une feuille métallique, on assimile le corps à une surface qui serait pesante, et c'est de là que viennent les expressions de centre de gravité d'un triangle, d'un parallélogramme, d'un polygone, d'un cercle.

D'autre part, quand un corps se présente sous une forme

MÉfHODES I>£ DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES 86S

susceptible d*étre définie géométriquement et qu'il est homogène dans toutes ses parties, c'est-à-dire que des volumes égaux de ce corps ont des poids égaux, la détermination du centre de gravité devient une simple question de géométrie.

Il s'ensuit qu'une surface géométrique qui a un axe de symétrie a nécessairement son centre de gravité sur cet axe, et que celle qui a un centre de symétrie a son centre de gravité au même point. C'est ainsi qu'un parallélogramme, un polygone régulier, un cercle, ont leur centre de gravité au centre de figure.

Pour déterminer le centre de gravité d'une surface plane décomposable en éléments dont on connaît le centre de gravité, on fait usage du théorème des moments appliqué aux forces parallèles, qui sont ici les poids des divers éléments de la surface. A cet effet, on mène dans le plan de la surface deux droites quelconques, concourantes entre elles, et l'on calcule la distance du centre de gravité de la surface considérée à chacune de ces droites^ connaissant les distances à ces mêmes droites des centres de gravité de ses éléments. Taire de la surface et celles des éléments.

Pour cela, on exprime que le moment de la surface donnée par rapport à chacune de ces droites est égal à la somme des moments de ses éléments par rapport aux mêmes droites; c'est-à-dire que le produit de l'aire de la surface considérée par la distance de son centre de gravité à chacune de ces droites est égal à la somme des produits analogues pour ses divers éléments.

Soit^ par exemple, une surface plane S formée des éléments ^Q^ h, «2t . . ., Sn-u dont les distances des centres de gravité à une droite du plan de la figure sont 80, Si, 8», . . . , ô„,. L'application du théorème des moments donne la relation suivante, dans laquelle d représente la distance inconnue du centre de gravité de la surface S à la droite considérée :

(1) Sd = «0^0 + *i^i -+- ^A -f- . . . -f- Sn^X-i ;

on en tire

UAUZAT. — MéTHODOL. 55

rf =

oa

*0^0 "+" *i^i "*" ^a^l -f- . . . H- «n lS»|

Par rapport à une autre droite du plan de la surface^ concourante avec la première, on obtiendrait une relation semblable qui donnerait une distance d' du centre de gravité de la surface à cette droite.

Les deux parallèles menées ensuite aux droites choisies, à des distances respectivement égales k d et d\ dans le sens indiqué par la position de la figure, donneraient par leur intersection lé centre dé gravité cherché.

Cela dit, revenons à la proposition à démontrer.

Soit une figure plane quelconque A {(ig. 19) assujettie à

efTectuer une rotation complète autour de Taxe X'X extérieur et situé dans son plan.

Considérons deux perpendiculaires MP et M,Pi à Taxe X'X, très rapprochées Tune de l'autre et découpant une portion MM'MiMi delà surface. En menant par les points M et M' des parallèles Mm et MW "x à Taxe X^. on détermine un rectangle MM'm'm qui engendre dans la rotation un volume Vq égal à la différence des volumes engendrés par les deux rectangles MPPim et M'PPiWï', et qui a par conséquent pour expression »

t;o = -'PM' — PM'*)xPP, ;

mais comme PM^ — PÏÏ'* est égal à (PM -h PM')(PM — PM% la valeur de uo peut se mettre sons la forme

X' PPi

Fig. 19.

PM -h PM'

(PM~PMOxPPi.

Or