PM -+- PM

représente la distance du centre de Ogure, et

par suite du centre de gravité, du rectangle MMWm à Taxe X'X ; d'autre part, le produit (PM — PM') X PPi exprime Taire de ce même rectangle. En désignant par S^ la première de ces quantités et par s^ la seconde» la relation précédente s'écrit

Si Ton considère une troisième perpendiculaire M2P1 à Taxe X'X très rapprochée de MiPi et que Ton mène par les points Ml et M[ des parallèles à cet axe» on déterminera un deuTcième rectangle Mi}A[m[mi qui engendrera dans la révolution un volume Vi qui aura pour expression

En continuant ainsi, et en admettant que l'on divise toute la surface considérée en petits rectangles, on aura successivement

v, = 2'ït83*3, etc.

Enfin, en additionnant membre à membre toutes ces égalités, il viendra

Vo 4- î?i H- «2 H- V3 4- . . . = 27r(So*o H- St^t 4- Sj*» -H 8353 H- ...).

Or, si Ton représente par V la somme des valeurs t?e "+- Wf -h vj 4- V3 H- . . . .; par S' la somme des surfaces «0 -+- «1 -H 52 -I- «3 H- ... ; et par d' la distance du centre de gravité de S' à X'X, cette égalité pourra s'écrire, d'après la relation (1),

W = 27cd'S'.

Supposons maintenant qu'on fasse croître indéfiniment le nombre de ces rectangles en rendant de plus en plus petites les distances PP„ P^Pa, etc. ; il s'ensuivra que V\ S' et d' se rapprocheront respectivement de plus en plus du volume V engendré par la surface considérée, de l'aire S et du centre de gravilé d de cette surface, et qu'à la limite, c'est-à-dire lorsque PPi, PiPi, etc., tendront vers zéro, V, S' et rf' tendront à se confondre avec V, S et d. On aura donc alors

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE MATIQOE

OU, pour traduire littéralement le théorème proposé,

V = S.fed.

Rbmarqub, - Il y a aussi un théorème de Guldin pour le calcul des aires de révolution engendrées par des lignes et qui

s'énonce ainsi :

Uaire engendrée par la révolution entière d'une ligne plane quelconque autour d^un axe extérieur situé dans son plan a pour mesure le produit de sa longueur par la circonférence que décrit son centra de gravité,

§ Vn. — Méthode des projection» orthogonaleB.

188. Cette méthode a été précédemment exposée (155). En voici quelques applications.