FO " MO

mais comme on a FO == Bb et MO = BO, on déduit des

deux relations précédentes

Mm = FD.

Il s'ensuit que les deux triangles rectangles MmF et MDF, qui ont l'hypoténuse commune MF, ont aussi un côté de l'angle droit égal et sont égaux. On en tire

(!) mF = MD.

D'autre part, les deux triangles rectangles MmP' et MD'F' sont égaux comme ayant l'hypoténuse commune MF' et un côté de l'angle droit égal : Mm est égal, en effet, à FD et FD est égal à F'D' comme côtés homologues dans les deux triangles rectangles égaux ODF et OD'F'. Il en résulte la relation

(2) mF' = MD'.

En additionnant (1) et (2) membre à membre, il vient

mF -H mF' = MD -f- MD' ; or la droite MD' est évidemment égale à M'D : on a donc

mF -h mF' = MD -f- M'D = MM', et comme MM' est un diamètre du cercle, on peut écrire

mF -4- mF' = constante.

GÉOMÉTKIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

La projection kbMh' du cercle ABA'B' sur le plaa Q est donc une ellipse qui a pour foyers les points F et F'. Cette démonstration est due à M. Courcelles.

190. II. I^s ordonnées perpendiculaires au grand axe d^une ellipse de deux points correspondants de cette ellipse et de son cercle principal sont dans un rapport constant et égal au rapport du petit axe au grand axe de Vellipse (*).

Soient [fig. 21) une ellipse ABA'B', son cercle principal ABjA'Bi et les ordonnées MF et MiP de deux points

correspondants M et Mj, ces ordonnées étant perpendiculaires à AA'. Il s'agit de démontrer que

le rapport

MiP

est constant.

Imaginons que, le cercle restant fixe, onfasse tourner Tellipse autour de son grand axe AA' jusqu'à ce qu'on ait Tangle B|60 égal à un angle droit, ce qui est toujours possible puisque cet angle, dans une demi-rotation, varie d'une manière continue de deux droits à zéro. A ce moment, le petit axe BO de l'ellipse a pris la position de 60 et l'ordonnée MP celle de mP. D'autre part, la droite Bi6 perpendiculaire à bO est aussi perpendiculaire au plan de l'ellipse dans sa position kbk'b\ car le plan Bi06 déterminé par les deux droites BiO et bO, toutes deux perpendiculaires à AA', est perpendiculaire à AA' et par suite au plan kbh!b' qui passe par cette même droite. Il s'ensuit que Bi6, menée dans le plan Bi06 perpendiculairement à son intersection 60 avec le plan A6A'6', est en même temps perpendiculaire a ce dernier plan, que le point b de l'ellipse kbMb' est par là même la projection orthogonale du point Bi du cercle, et, comme conséquence, que cette ellipse est elle-même la projection orthogonale du cercle, car

(') Théorème précédemment énoncé (134, VIII).

il ne peul pas y avoir deux ellipses différentes ayant pour grand axe AÀ' et pour demi-petit axe la droite 60.

11 résulte de là que la projetante du point M| du cercle, contenue dans le plan MiPm qui est perpendiculaire au plan de Tellipse AbA!b' pour la même raison que le plan B1O6, rencontre nécessairement la droite mP et la rencontre au point m.

Cela dit, considérons les deux triangles rectangles BiOb et MiPm ; ils sont semblables comme ayant un angle aigu égal, BiOb = MiPm, et ils donnent la relation

mP bO

mais comme on a mP = MP, bO = BO et B,0 = AO, la relation précédente devient