PD CD

Le point P appartient donc au lieu des points dont le rapport des distances aux deux points fixes B et D est égal au rapport

constant —- • ce lieu est le cercle décrit sur le segment CC'

comme diamètre, C étant le conjugué harmonique du point C par rapport aux deux points B et D.

II résulte de tout ce qui précède que le point P appartenant à la fois aux deux lieux doit se trouver à leur intersection.

De là la construction suivante : déterminer le conjugué harmonique Q' du point B par rapport aux deux points A et C, et décrire un cercle sur BB' comme diamètre ; déterminer •ensuite le conjugué harmonique G du point C par rapport aux deux points B et D, et décrire un cercle sur CC comme diamètre : la rencontre de ces deux cercles donne le point P.

Discussion, — l^ Supposons que les trois longueurs AB, BC «l CD sont inégales, ainsi que nous l'avons implicitement a«lmis dans ce qui précède (figure et raisonnement).

a) Si la plus petite longueur est comprise entre les deux autres, B' est à droite de B, et C à gauche de G ; les deux cercles BB' et CC se coupent en deux points symétriques par rapporta la droite X'X et le problème admet deux solutions.

b) Si la moyenne longueur est placée entre les deux autres {fig. 40), les deux points B' et C sont situés d'un même côté

par rapport à cette longueur et pour que les deux cercles BB' et CC se coupent, il faut et il sufût que Ton ait