Propriétés élémentaires des nombres fractionnaires

On peut résumer ainsi qu'il suit les propriétés simples des nombres fractionnaires :

I. Un nombre fractionnaire est égal au quotient exact de la division de son numérateur par son dénominateur.

Gomme conséquence de cette propriété, on peut dire que le quotient exact de deux nombres entiers est le nombre fractionnaire qui a pour numérateur le dividende et pour dénominateur le diviseur.

II. Si l'on multiplie ou si l'on divise le numérateur d'un nombre fractionnaire par un même nombre entier, ce nombre fractionnaire est multiplié ou divisé par ce nombre entier,

III. Si Von multiplie ou si Von divise le dénominateur d'un nombre fractionnaire par un même nombre entier y ce nombre fractionnaire est divisé ou multiplié par ce nombre entier,

IV. Si l'on multiplie ou si l'on divise les deux termes d'un nombre fractionnaire par un même nombre entier, ce nombre fractionnaire ne change pas de valeur,

V. Si l'on augmente ou si l'on diminue d'un même nombre entier les deux termes d'un nombre fractionnaire, la valeur de ce

nombre fractionnaire se rapproche ou s'éloigne de l'unité; elle ne change pas si elle est égale à l'unité.

§n. — Transformations des nombres fraotionnaires.

97. Dans la pratique, on a souvent besoin de faire subir certaines transformations aux nombres fractionnaires. Voici les principales.

96. I. EIxtractflon des unités contenues dans un nombre frao tkmnaire. — Si un nombre fractionnaire est plus grand que Tunité, il peut être utile d'en extraire les unités qu'il contient. Or, comme dans chaque nombre fractionnaire le dénominateur exprime combien Tunité contient de fois sa partie tliquote correspondante, et le numérateur combien le nombre fractionnaire contient de fois cette même partie, on conçoit qne le quotient du numérateur par le dénominateur représente les unités contenues dans ce nombre fractionnaire. En ajoutant. à ce quotient une fraction qui a pour numérateur le reste de la division, s*il y en a un, et pour dénominateur celui du nombre fractionnaire, on reproduit ce nombre fractionnaire sous une antre forme.

II. Mise sous la forme fractionnaire d'un nombre entier augmenté d'une fraction. — Gomme celte question est Tinverse de la précédente, on la résout évidemment par des opérations^ inverses de celles qu'on vient d'employer, c'est-à-dire qu'on forme un nombre fractionnaire qui a pour dénominateur celui de la fraction et pour numérateur le produit de ce dénominateur par le nombre entier, augmenté du numérateur de la fraction.

100. m. Simplification des nombres fractionnaires. — Simplifier un nombre fractionnaire c'est l'exprimer, sans en changer la valeur, par des termes plus petits. L'opération qui a pour objet cette simplification, et qui se justifie par la pro* priété IV du paragraphe précédent, consiste dans la division des deux termes du nombre fractionnaire par un même facteur commun.

Si Ton divise ces deux termes successivement par tous leurs facteurs communs, les derniers quotients sont premiers entre eux, et la simplification ne peut aller au delà. Ce résultat s'obtient directement en divisant les deux termes du nombre fractionnaire par leur plus grand commun diviseur.

Dans ce dernier cas^ le nombre fractionnaire simplifié est dit irréductible, c'est-à-dire réduit à sa plus simple expression, et cette expression s'appelle la valeur réduite du nombre. La justification de ces appellations réside dans les propositions suivantes :

. 1° Lorsqu'un nombre fractionnaire a ses deux termes premiers entre eux^ tout nombre fractionnaire qui lui est égal a des termes équimultiplés de ceux du premier,

2^ Les deux termes d'un nombre fractionnaire irréductible sont premiers entre eux^ et réciproquement.

101. IV. Réduction des nombres fractionnaires au même dénominateur. — On ne peut facilement comparer des nombres fractionnaires entre eux qu'autant qu'ils ont un terme commun ; cette condition est môme indispensable — nous le montrerons plus loin — quand on veut les soumettre à l'addition et à la soustraction ; aussi, lorsqu'elle n'est pas remplie dans les circonstances qui la réclament, transforme -t-on les nombres fractionnaires en d'autres équivalents qui ont un terme commun. Le terme généralement adopté, parce qu'il s'impose pour les deux premières opérations fondamentales, est le dénominateur.

Réduire des nombres fractionnaires au même dénominateur c'est donc en former d'autres qui aient même dénominateur et qui soient respectivement équivalents aux premiers.

On effectue cette opération, qui repose sur la propriété IV du paragraphe précédent, en réduisant d'abord tous les nombres fractionnaires à leur plus simple expression et en en multipliant ensuite les deux termes par un même nombre entier convenablement choisi. Pour chaque nombre fractionnaire, ce nombre multiplicateur peut être le produit des dénominateurs de tous les autres ; mais on choisit de préférence»

dans un but de simplification, le qaotient du plus petit cornmnamaltiple de tous les dénominateurs par le dénominateur dn nombre fractionnaire sur lequel on opère.

§ m. — Opérations sur les nombres fractionnaires. .

102. Nous avons à montrer ici que les opérations sur les nombres entiers sont applicables aux nombres fractionnaires, soasla réserve, toutefois, que les définitions de quelques-unes demanderont à être modifiées et à recevoir, dans un but de généralisation, une forme qui convienne à la fois aux nombres entiers et aux nombres fractionnaires.

103. 1. Addition. — L'addition peut se définir pour les deux catégories de nombres : une opération qui a pour objet de réunir plusieurs nombres donnés en un seul qui se compose des unités et des parties d'unités contenues dans tous ces nombres.

Analogue à celle que nous avons donnée pour les nombres entiers, cette définition comprend évidemment la première.

En dernière analyse, toute opération arithmétique se fait sur des nombres entiers. L'addition des nombres fractionnaires doit donc se ramener à celle des nombres entiers. Pour cela, on fait exprimer aux nombres fractionnaires des subdivisions de même nature de l'unité : le dénominateur n'est plus alors iIQ*an nom commun à toutes les parties à réunir et l'addition porte sur les numérateurs. De là la règle :

Pour additionner plusieurs nombres fractionnaires , il faut

kt réduire au même dénominateur ^ puis former un autre nombre

, fractionnaire qui a pour numérateur la somme des nouveaux

numérateurs et pour dénominateur le dénominateur commun :

ce nombre est la somme des nombres proposés.

104. U. Soustraction. — Pour les nombres fractionnaires, comme pour les nombres entiers, la soustraction peut être Mnie : une opération qui a pour objets deux nombres étant ioMéSy de retrancher du plus grand toutes les unités et parties f unités contenues dans Vautre,

70 ARITHMÉTIQUE THÉORIQOE

On peut aussi la déOnir, ainsi que nous Tavons dit (44), Topération inverse de Taddition.

Par un raisonnement analogue à celui que nous avons suivi pour Taddition, on est conduit à la règle suivante :

Pour retrancher deux nombres fractionnaires l'un de. Vautre^ il faut les réduire au même dénominateur ^ puis former un autre nombre fractionnaire qui a pour numérateur la différence des nouveaux numérateurs et pour dénominateur le dénominateur commun : ce nombre est la différence des deux nombres proposés»