in. Multiplication — La définition de la multiplication
des nombres entiers (répéter un nombre donné autant de fois
qu'il y a d'unités dans un second nombre aussi donné) n'est
pas applicable à la multiplication des nombres fractionnaires •
11 a donc fallu en trouver une autre qui convint pour les deux
espèces de nombres, d'après laquelle, par exemple, la valeur
d'une marchandise fût représentée dans tous les cas par le
produit du prix de l'unité et du nombre qui exprime la mesure
de celte marchandise, quels que soient ce prix et ce nombre.
Soit k calculer, au prix de — de franc le mètre : 1® la valeur
de 2 mètres d'étoffe ; â» celle de -^ de mètre ; 3** celle de ---
de mètre.
Dans le premier cas, il faut répéter le prix du mètre deux
fois, en d'autres termes, multiplier — de franc pai* 2 ; dans le
— de franc par 6 ; et dans le troisième, prendre 5 fois le —
du prix du mètre, ou diviser — de franc par 6 et multiplier le
quotient par 5. Or, remarquons que le résultat final, dans chacun des trois cas, se trouve être formé avec le prix du mètre de la même manière que le nombre entier ou fractionnaire de mètres l'est avec l'unité ; et comme dans le premier cas ce résultat s'obtient par une multiplication, on dit qu'il s'obtient encore dans les deux autres par la même opération,
dans laquelle le prix du mètre et le nombre de mètres sont, chaque fois^ le multiplicande et le multiplicateur.
On est ainsi coudait à la définition suivante : la multiplication est une opération qui a pour objets deux nombres étant ionniSy Cun appelé multiplicande , Vautre multiplicateur^ de former un troisième nombre avec le multiplicande comme le multiplicateur est formé avec l'unité.
n suit de là que le produit de deux nombres est supérieur, égal ou infériear au multiplicande suivant que le multiplicateur est supérieur, égal ou inférieur à Tunité; et il en résulte que ridée attachée jusqu'ici aux mots multiplication et multiplituteur reçoit ainsi une extension qui comprend, en particulier, le cas où le produit est inférieur au multiplicande. Cette extension trouve sa raison d'être, en dehors du besoin de généralisation, dans le fait qu'un nombre quelconque, par conséquent tont nombre appelé à jouer un rôle de multiplicateur, peut passer d'une valeur inférieure à Tunité à une valeur supérieure, parle changement de cette unité en une autre plus petite.
Remarquons, d'autre part, que, d'après cette définition, multiplier deux nombres quelconques l'un par l'autre, c'est encore répéter un certain nombre de fois le multiplicande ou une de ses parties aliquotes : la première définition que nous
a^ns donnée de la multiplication rentre donc dans la seconde.
Cela dit, soit k multiplier -7^ par -- • D'après la définition
qui précède, le produit sera les -rr- de — • On le formera en
prenant successivement le -^ puis les -ït de — •• Le -r s'ob-
tiendra en multipliant le dénominateur de -— par 5, ce qui
donnera et l'on passera aux -r- en répétant 9 fois ce
premier résultat, c'est-à-dire en en multipliant le numérateur
par 9. On aura ainsi pour produit l'expression ^» d'où
\z xo
Ton tire la règle suivante :
Pour multiplier deux nombres fractionnaires l'un pir t autre ^
rj
il faut multiplier entre eux^ d'une party les numérateurs^ de Vautre^ les dénominateurs y puis former un nombre fractionnaire qui a pour numérateur le premier produit et pour dénominateur le second*
Remarque I. — Le cas particulier où le multiplicande est un nombre entier se déduit facilement du cas général.
Remarque II. — Chaque terme du résultat de la multiplication de deux nombres fractionnaires étant le produit de deux nombres entiers, ce résultat est indépendant de Tordre de ces nombres entiers, et par conséquent de l'ordre des nombres fractionnaires eux-mêmes dans la multiplication.
Si Ton étend aux nombres fractionnaires la définition que nous avons donnée du produit de plusieurs facteurs (54), on en déduit: 1*^ que le produit de plusieurs nombres fractionnaires s'obtient en en formant un antre qui a pour numérateur le produit des numérateurs, et pour dénominateur le produit des dénominateurs ; 2^ que si tous les facteurs fractionnaires sont égaux, le produit est une puissance de l'un de ces facteurs, exprimée par un exposant égal au nombre de ces facteurs.
On démontre ensuite les deux propositions suivantes :
l^ Pour élever un nombre fractionnaire à une puissance^ on élève ses deux termes à cette puissance.
2o Toute puissance d'un nombre fractionnaire irréductible est elle-même un nombre fractionnaire irréductible,
106. IV. Division. — Des deux définitions de la division des nombres entiers, la première, qui considère cette opération comme ayant pour objet de partager un nombre donné en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre nombre donné, n'est pas applicable aux nombres fractionnaires ; mais la seconde, d après laquelle la division a pour objet de trouver combien de fois un nombre donné est contenu dans un autre nombre donné, peut être généralisée. Il suflît pour cela de convenir que l'expression combien de fois s'applique à un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, pourvu que le produit du diviseur par le quotient reproduise exactement le dividende.
MOMBRBS FRACTIONNAIRES
Toutefois, en s'appuyant sur ce qne la division est l'opéraûon inverse de lamultiplicatioD, on arrive à définir la division de deux nombres quelconques de la manière suivante, que Ton préfère, le plus souvent, à la précédente : la division est une opération qui a pour objet y deux nombres étant donnés, Vun appelé dividende y Cautre divisettr, de former un troisième nombre qui multiplié par le second reproduise le premier.
Hais comme le produit de deux nombres fractionnaires ne change pas dans quelque ordre qu*on les prenne (105, Rem. II), ces deux définitions généralisées de la division peuvent se déduirt réciproquement Tune de Tautre et elles ne sont dès lors que deux manières différentes d'envisager un même fait.
De la dernière, il ressort immédiatement que le quotient de deux nombres est inférieur, égal ou supérieur au dividende, selon que le diviseur est supérieur, égal ou inférieur à Tunité ; [» et il résulte de là que l'idée attachée jusqu'ici aux mots division et diviseur reçoit ainsi une extension qui comprend, en particulier, le cas où le quotient est supérieur au dividende. Cette extension peut se justifier, en dehors du besoin de généralisation, comme celle des mots multiplication et multiplicateur (105).
Il est à remarquer, en outre, qu'il ne s'agit exclusivement ici que de quotients exacts.
La règle à suivre pour la division des nombres fractionnaires peut se déduire facilement de Tune ou de l'autre de nos deux définitions. Servons-nous de la dernière ; le lecteur pourra résoudre la même question comme exercice, en prenant Tau-
tre pour point de départ. Soit à diviser — par — - • Le quotient
doit être tel que multiplié par — il reproduise — i ce qui re-
vient à dire que les -r- du quotient sont — ; il s'ensuit que le
- du quotient sera le — de -=- et qu'on aura le quotient en
"enant 5 fois ce
— - ou les -^ de -=-. D'où la règle :
74 ARITHMÉTIQUE THÉOMIQUB
Pour diviser deux nombres fractionnaires Fun par Vautre^ il faut multiplier le nombre fractionnaire dividende par le nombre fractionnaire diviseur renversé,
§ IV. — Extension aux nombres fractionnaires des théorèmes sur les nombres entiers.
107. La conséquence de rextension, aux nombres fractionnaires, des définitions adoptées pour les opérations fondamentales sur les nombres entiers, est l'obligation de démontrer que les propriétés essentielles de ces opérations, ainsi que les théorèmes établis à la suite de chacune d'elles sur les nombres entiers, s'appliquent aussi aux nombres fractionnaires; en d'autres termes, que les nombres fractionnaires sont soumis aux mêmes règles de calcul que les nombres entiers.
En s'appuyant sur ce que Taddition et la soustraction des nombres fractionnaires se ramènent respectivement à l'addition et à la soustraction des nombres entiers qui sont les numérateurs des nombres fractionnaires réduits au même dénominateur, on prouve que les propriétés de ces deux opérations, ainsi que les propositions qui y sont relatives, conviennent aussi bien aux nombres fractionnaires qu'aux nombres entiers, c'est-à-dire que l'addition reste commutative et associative pour les deux espèces de nombres auxquels s'appliquent également les théorèmes I et II (43) et I à IV (49).
La multiplication des nombres fractionnaires se ramenant, de son côté, à une multiplication de nombres entiers, portant, d'une part, sur les numérateurs de ces nombres fractionnaires, de l'autre, sur les dénominateurs, on établit que les propriétés essentielles de cette opération appliquée aux nombres entiers, ainsi que les théorèmes qui en découlent, conviennent aussi bien aux nombres fractionnaires qu'aux nombres entiers, c'està dire que la multiplication reste commutative, associative, et distributive par rapport à l'addition, pour les deux espèces de nombres, auxquels s'appliquent également les théorèmes II à X (58).
NOMBRBS FRACTIONNAIRES 75
La division étant Topération inverse de la multiplication^ on prouve facilement que ses propriétés essentielles, ainsi que les théorèmes II à YII (63) qui en sont les conséquences, conviennent nécessairement aux deux espèces de nombres. ' Enfin, on Remontre que les règles de calcul établies pour les puissances des nombres entiers (65) s'appliquent aussi aux puissances des nombres fractionnaires et que les propriétés des égalités et des inégalités restent les mêmes, avec Textension qui vient d'être donnée dans ce chapitre à Tidée de nombre. •
§ V. — Extension de la définition des nombres
fractionnaires.
106. Jusqu'ici nous avons implicitement supposé que les deux termes, numérateur et dénominateur, des nombres fractionnaires, sont des nombres entiers. Or^ si Ton considère une expression ayant la forme fractionnaire et dont les deux termes ne sont pas des nombres entiers, on convient de donner aussi à cette expression le nom de nombre fractionnaire, en adoptant toutefois pour définition générale cette propriété connue : un nombre fractionnaire est le quotient de la division de deux nombres.
Mais il faut ensuite, et on le peut^ démontrer que toutes les règles de calcul et les propositions relatives aux nombres fractionnaires, établies pour le cas où les termes sont des nombres entiers (96, 107), s'appliquent aussi au cas où les termes sont quelconques.
Ces nouveaux nombres fractionnaires sont appelés composés ou complexes.
