i^X^^ ^^ et D, c est-à-dire que la

droite AB est le diamètre

^' du cercle lieu de tous les

points dont les distances MD et MC aux points D et G sont

BD dans un rapport égal à -g--» par suite que les droites MB et

MA sont les bissectrices de Tangle DMC et de son supplément.

D'où la construction suivante : décrire sur la droite donnée AB, prise comme diamètre, un demi-cercle AMB ; joindre an point M quelconque de cette courbe aux points B et C ; faire au point M avec MB et du côté opposé à l'angle BMC, un angle BME égal à BMC : Tintersection D de la droite ME avec la droite AB donne le point demandé.

Le problème ainsi considéré est toujours possible.

S'il s'agissait de déterminer le point C, connaissant le point D, la construction serait analogue ; après avoir décrit le demicercle AMB, on joindrait un point quelconque M de cette courbe aux points D et B, et Ton ferait au point M, avec MB, du côté opposé à Tangle DMB, un angle BMC égal à DMB.

Trois cas pourraient se présenter : ou MC rencontrerait AB à droite du point B ou à gauche du point A ; ou bienMC serait parallèle à AB : dans les deux premiers cas, il y aurait une solution; dans le troisième, le conjugué de D serait rejeté à l'infini et il n'y aurait pas de solution. Ce cas se présente lorsque D est au milieu de AB.

294. IV. Diviser un angle en 2, 4, 8, ... , 2" parties égales.

La solution de ce problème s'appuie sur le fait qu'on ramène la mesure des angles à celle des arcs compris entre leurs côtés et décrits de leur sommet comme centre avec un rayon arbitrairement choisi. Ici, par conséquent, nous ramènerons la

division d'un angle en 2, 4, 8, . . ., 2» parties égales à la division,

de la même manière, de l'arc qui lui sert de mesure.

Soient A {fig. 114) l'angle donné, et BG l'arc compris entre

ses côtés et décrit de son sommet A. comme centre avec un

rayon quelconque AB.

Admettons d'abord qu'il s'agisse de

diviser l'angle A, et par conséquent

Tare BC, en deux parties égales. On

sait que la perpendiculaire menée au

milieu d'une corde partage cette corde

et Tare sous-tendu en deux parties

égales. De cette perpendiculaire au

'^'*^*" milieu de BC on connaît le point A;

pour en avoir un .second, des points B et G comme centres,

avec un même rayon plus grand que la moitié de BG, on

décrit des arcs de cercle qui se coupent en deux points, dont

on seul, D par exemple, est à déterminer dans la circonstance :

la perpendiculaire AD au milieu Ë de la corde BG donne par sa

rencontre F avec Tare BG le milieu de cet arc. Les deux

angles au centre BAD et DAC interceptant ainsi des arcs égaux

BF et FG sont égaux ; AD est' donc la bissectrice de Pangle

donné.

Pour diviser Tangle A en quatre parties égales, on le divise

d'abord en deux parties égales, comme il vient d'être fait,

puis chaque moitié est à son tour divisée en deux parties

égales par le même procédé.

On opère de la même manière sur chaque quart de l'angle

pour avoir la division en huit parties égales, et l'on continue

ainsi de suite pour obtenir autant de divisions égales qu'en

exprime le nombre 2".