LD==?^LP = QE

et DR = JS = JE,

d'où, en additionnant membre à membre les relations formées par les termes extrêmes de ces deux lignes d'égalités,

LD -f- DR = QE 4- JE, •

ou LR «= QJ,

ce qui revient à dire, d'après la réciproque de la remarque du second lemme, que les cercles c et d intercepteraient deux cordes égales sur la droite qui joindrait le point L au point J, par suite que les deux cercles sont vus sous le même angle du point C et conséquemment que la seconde tangente commune intérieure de ces deux cercles est bissectrice de TanglQ C.

De là se déduit la solution suivante : construire les bissectrices des trois angles du triangle donné ABC, qui se coupent au centre T du cercle inscrit ; inscrire un cercle dans chacun des triangles ainsi formés ATB, BTC et GTA; mener les secondes tangentes communes intérieures de ces trois cercles considérés deux à deux, qui forment trois triangles ayant pour côtés une de ces tangentes et deux côtés du triangle ABC : les cercles inscrits dans ces derniers triangles sont les cercles demandés.

Cette solution nous l'avons empruntée à M. Desboves.

§ IX. — Division de la circonférence et du cercle.

320. I. Dioiser un arc de cercle en 2, 4, 8, ..., 2" parties égales.

Fig.lii.

On sait que la perpendiculaire menée par le milieu de la

corde d'un arc divise cet arc en deux parties égales. Pour diviser Tare AMB {fig, 444) en deux parties égales, on mènera donc, comme on sait le faire (280), la perpendiculaire CD au milieu de la corde AB de cet arc, et le point de rencontre M de cette i^erpendiculaire et de Tare donnera le point de division cherché.

On divine un arc en quatre parties égales» en le divisant d'abord ea deux parties égales, puis en effectuant la même opération sur chacune de ses moitiés.

Si Ton divisait ensuite chaque quart en deux parties égales, par le môme procédé, on aui^it la 'division en huit parties égales. On conçoit qu'en continuant ainsi on arrive à la division en un nombre de parties égales représenté par une puissance donnée 2^ de 2.

32i. II. Diviser une circonféreûce de cercle en quatre parties égales,

- Soit AMB (fig. 145) un arc égal au quart de la circonférence 0. En menant les rayons OA et OB on obtient un angle droit AOB ; par suite, en prolongeant ces rayons au delà du point 0 jusqu à la circonférence, on a deux diamètres qui forment entre eux quatre angles droits et divisent, par leurs I extrémités A, B, C, D, lacirconfé- M rence en quatre parties égales,

i-'ig- ti5- D'où la solution : construire deux .

diamètres perpendiculaires l'un à l'autre.

Remarque I. — Si Ton joint deux à deux et consécutiveraeat ■ ces quatre points de division, on obtient le carré inscrit dans

la circonférence donnée, car les quatre côtés de la figure sont égaux comme cordes sous-tendant des arcs égajix» et ses quatre angles sont droits comme inscrits dans des demicercles.

On peut se proposer d*exprimer le côté du carré inscrit dans une circonférence en fonction du rayon de cette circonférence. Pour cela, considérons le triangle AOB, par exemple; il donne

ÂB* = ÂÔ* -H BÔ*,-

ou, en représentant le rayon de la circonférence par r et le côté du carré par c^, »

cl = 2rS d'où C4 = r /2.

Remarque II. — On divise une circonférence en 8, 16, ... , 2* parties égales^ en la divisant d'abord en quatre parties égales^ puis en divisant chaque quart en deux parties égales, chaque huitième en deux parties égales, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne dans la circonféi^nce entière autant de parties égales qu'en exprime le nombre 2**.

Si Ton joint deux à deux et consécutivement les points de division obtenus dans chaque opération, on forme des poly> gones réguliers convexes de 8, 16, . . . , 2» côtés ; et en les joignant deux à deux, non plus consécutivement, mais de 3 en 3 par exemple^ c'est-à-dire en comprenant entre les extrémités d^ chaque corde un nombre de divisions premier avec 8, 16, ... ou 2», on obtient des polygones réguliers étoiles de 8, 16, ... ou 2^ côtés (56).

On verra plus loin (3i3) comment on calcule le côté d*un polygone régulier de 2n côtés, inscrit dans une circonférence, en fonction du rayon de cette circonférence et du côté du polygone régulier inscrit de n côtés.