III. Diviser une circonférence en six parties égales

Soit AMB [fig. 146) un arc égal au sixième de la circonfé-

*- rence 0. En menant les rayons Oa et.OB on obtient un angle AOB

2d égal à — ; il s ensuit qu'enjoignant «j

A et B on forme un triangle équilatéral AOB, de sorte que la corde qui aous-tend Tare AMB se trouve être égale au rayon de la circonférence.

D'où la solution : d'un point A Fig.146. quelconque de la circonférence,

pris comme centre, décrire avec un rayon égal à celui de la circonférence un arc qui la coHipe en B ; du point B, opérer de la même manière et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on revienne au point A, après six opérations semblables.

Remarque I. — Si Ton joint deux à deux et consécutivement ces six points de division, on obtient l'hexagone régulier inscrit dans la circonférence donnée, car les six côtés de la figure sont égaux comme cordes sous-tendant des arcs égaux, et ses six angles sont égaux comme inscrits dans des segments égaux. •

En désignant par r le rayon de la circonférence, et par Ce le côté de l'hexagone régulier, on a

Cô = r.

Remarque II. — En considérant de deux en deux les six points de division uniformes de la circonférence on a la division de cette ligne en trois parties égales.

•Si l'on mène les cor(!rfes correspondantes, on obtient le triangle équilatéral. Pour en exprimer le côté AC en fonction du rayon r, il suffit de remarquer que les deux droiles AC et OB, perpendiculaires l'une à l'aulre, se coupent en parties égales, de sorte qu'on a

AC = 2AD et OD ^ ^^ ^^

Or le triangle AOD donne

AD=v/0A'— OD*,

= s/ôx'- «^' ^^