BF = 4 BA

et BG= ^BC,

c'est-à-dire que les droites CF et AG sont deux médianes du

triangle ABC : il s'ensuit que le point D est le point de concours

de ces médianes.

On établirait de même que le point E est le point de concours des médianes de la face ASB.

De là la solution suivante : joindre Tun des sommets S du tétraèdre au point de concours D des médianes de la face opposée ABC ; prendre sur la droite obtenue SD, à partir de son pied D dans la face considérée, le quart DO de sa longueur totale : le point 0 est le sommet commun aux quatre tétraèdres équivalents formés avec le tétraèdre donné et dont les

(aces opposées à ce sommet commun sont respectivement les quatre faces du tétraèdre.

► Remarqus. — On a démontré que le point 0 divise la droite SET en deux segments DO et SO qui sont entre eux dans le rapport de 1 à 3 ; on démontrerait qu'il en est de même pour la droite CE ; et si Ton joignait le poiat A et le point B au point G, on prouverait.encore que les droites obtenues vont rencontrer les faces opposées au point de concours de leurs médianes et sont divisées de la même manière que les précédentes parle point 0. 11 suit de là que les quatre droites qui joignent les quaire sommets (Tun tétraèdre aux points de concours des médianes des faces opposées se coupent en un même point situé au quart de leur longueur à partir de ces faces.

Cette propriéfé du tétraèdre est la correspondante, dans Tespace, de celle du triangle pour ses médianes.

331. VI. Construire une sphère passant par quatre points donnés.

Soit 0 {fig. 154) la sphère qui passe par les quatre points A,

B, C, D, que nous supposerons d'abord non situés dans un môme plan.

Le centre 0 de cette sphère étant à égale distance des quatre points A^ B, C, D, appartient à chacun des plans menés perpendiculairement, et en leur milieu, aux droites qui joignent ces points deux à deux. Si donc l'on considère trois de ces plans, par exemple . ceux qui sont perpendiculaires au milieu de AB, de AC et de AD, ils se couperont en un même point, sinon ils auraient une droite commune, dont la direction serait à la fois perpendiculaire aux trois droites AB, AC et AD, et comme ces trois droites ont le point A. commun, elles appartiendraient alors à un même plan perpendiculaire à la direction de rintersection commune des trois plans ; or, par hypothèse, les trois droites AB, AC et AD ne sont pas dans un même

Fig. 154.

plan ; il s'ensuit que les trois plans perpendiculaires en leurs milieux ont un point commun et n'en ont qu'un seul.

La solution du problème est ainsi la suivante : joindre trois des points donnés au quatrième ; mener par le milieu de chaque droite obtenue un plan perpendiculaire : le point commun aux trois plans est le centre de la sphère cherchée.

Si les quatre points étaient situés dans un même plan, les trois plans précédents se couperaient suivant une même droite ou deux droites parallèles selon que les quatre points appartiendraient ou non à un même cercle, et alors le problème admettrait une infinité de solutions ou serait impossible.

§ XI. — Gonstructions relatives aux courbes usuelles.

332. I. Mener à une ellipse une tangente assujettie à passer par un point donné.

Soit PM {fig. 455) la tangente menée par le point P à l'ellipse FF'. Joignons le point M aux deux foyers de Tellipse, prolongeons F'M d'une longueur MC égale à MF, et menons la droite FG ; le triangle FMC est isocèle et la tangente

PM , bissectrice de l'angle FMC, est perpendiculaire au milieu de FC.

Or le point G, distant du foyer F' d'une longueur égale à P'M -^FM ou au grand axe de Tellipse, appartient au cercle directeur de la courbe ayant pour centre le foyer F' ; d'autre part, lé point G, symétrique du foyer F par Pjg J55 rapport à la tangente

PM, appartient aussi au cercle décrit du point P comme centre avec un rayon égal à PF.

De là la solution suivante : décrire de l'un des foyers, F' par exemple, le cercle directeur correspondant ; du point donné P, pris comme centre, décrire un cercle avec un rayon égal à la distance de P à l'autre foyer F ; joindre l'intersection C de ces deux cercles aux foyers P et F : la perpendiculaire menée du point P sur FG est la tangente à Tellipse cherchée, et le point M où cette tangente rencontre la droite F'C est son point de contact avec la courbe .

Discussion. — Pour que le problème soit possible, il faut et

il suffit que le cercle de centre P et de rayon PF rencontre

*le cercle directeur de centre F', et pour cela que la distance

de leurs centres PF' soit plus petite que la somme de leurs

rayons PC et F'C et plus grande que leur différence; en

d'autres termes, que dans le triangle PF'G un côté quelconque

soit plus petit que la somme des deux autres, c'est-à-dire que

l'on ait