PF -H PF

Sous cette forme, elle indique que pour être satisfaite, il faut que le point P se trouve en dehors de l'ellipse (134, IV).

Dans ce cas, le triangle PF'C existe et le cercle de centre P et de rayon FF rencontre en deux points C et C' le cercle directear de centre F': il y a donc deux solutions.

Si le point P est sur Tellipse, on a

2a = PF'-f-PF; le triangle PF'C se réduit à une droite et les deux cercles sont tangents ; le problème n'admet qu'une solution.

Enfin, si le point P est à l'intérieur de Tellipse» on a

2a>PrH-PF; le triangle PFC n'existe plus et les deux cercles ne se rencontrent pas ; le problème est alors inipossible.

Remarque I. — Lorsque le point P est sur l'ellipse en M, par exemple, au lieu d'employer la construction précédente pour résoudre le problème, on joint le point M aux deux foyers de Tellipse et Ton mène la bissectrice de Tangle extérieur en M du triangle MFF' ; ou bien on construit le cercle directeur relatif à Tun des foyers, F' par exemple, on mène le rayon vecteur F'M que Ton prolonge jusqu'à la rencontre en C du cercle directeur, et du point M on abaisse une perpendiculaire sur la droite FC qui joint le second foyer au point C.

Remarque II. — On peut encore mener par un point donné la tangente à une ellipse en s'appuyant sur cette propriété que les tangentes à Tellipse et à son cercle principal, en deux points respectifs M et M' qui ont môme projection sur un des ■ axes de Tellipse, rencontrent cet axe au même point (134, VIII). Pour cela (fig, 166), on détermine le point M' de manière qu'H ait même projection M| que le point M sur le grand axe de

Tellipse, par exemple, et que Ton ait / = — ; on mène

M Ml CL

par M' la tangente au cercle, que Ton prolonge jusqu'à sa rencontre en T avec le grand axe : en joignant le point M au point T on a la tangente cherchée. Lorsque le point M est sur "" l'ellipse, le point M' est à l'intersection du cercle principal et de la perpendiculaire MMi à l'axe considéré. S'il arrivait dans cette construction que la tangente M'T au 1

cercle fût parallèle à Taxe considéré, il s'ensuivrait que la tangente à Tellipse serait aus6i parallèle à cet axe.

Remarque III. — On résout, par des procédés analogues, le même problème relatif à l'hyperbole et à la parabole. Pour cette dernière courbe, la directrice remplace, dans la solution^ le cercle directeur que Ton construit pour l'ellipse et Thyperbolc.

333. II. Construire une ellipse connaissant les sommets de Vun des axes et un point.

Soient A et A' {fig, i56) les sommets de Taxe de l'ellipse à

construire et M le j)^,^ ^it^^' point donné. Sur AA'

comme diamètre, décrivons un cercle ; si le point M est à l'intérieur, ce cercle est le cercle principal ou grand cercle homographique de Tel lipse ; si au contraire le point M est à l'extérieur, le cercle est décrit sur le petit axe de Tellipse ; c'est son petit cercle homographique. Deux cas se présentent donc dans la résolution du problème.

1*^ Le point M est à l'intérieur du cercle de diamètre AA'. De ce point M [fig, 156) abaissons la perpendiculaire MM, sur la droite AA', que nous prolongerons au delà du point M jusqu'à sa rencontre en M' avec le cercle principal. Si nous considérons alors les tangentes MT à Tellipse et MT à son cercle principal menées en deux points M et M' qui ont même projection M, sur le grand axe de l'ellipse, nous savons (134, VIII) qu'elles rencontrent cet axe en un même point T. Soient, d'autre part, G et D les points d'intersection de la tangente MT avec le cercle principal. Ce cercle étant défini le lieu des projections des foyers de l'ellipse sur les tangentes à cette courbe, les foyers de l'ellipse sont les points de rencontre

Fig. ir.0.

F et F de la droite AA' avec les perpendiculaires menées à la tangente DT aux points C et D.

D'où la solution suivante : décrire un cercle 0 sur la droite AA' qui joint les deux sommets donnés, en la prenant comme diamètre ; abaisser sur cette droite du point donné M la perpendiculaire MMi; prolongée au delà de M jusqu'à la rencontre en M' avec le cercle 0; mener à ce cercle, par le point M', la tangente M'T ; joindre le point T, commun à la tangente et à la droite AA', au point M et prolonger jusqu'à la seconde rencontre en D avec le cercle ; élever en C et en D à la droite DT des perpendiculaires ; les intersections F et F de ces perpendiculaires avec la droite AA' sont les foyers de Tellipse el AA' en est le grand axe.

La connaissance de ces éléments permet de tracer la courbe par Tun des procédés connus.

2® Le point M est à l'extérieur du cercle de diamètre AA'.

De ce point M {fig. 157) abaissons sur la droite AA', petit axe de Tellipse, la perpendiculaire MMi qui rencontre le cercle au point M'. Menons ensuite la perpendiculaire OB' à AA', joignons le point B' au point M', prolongeons la droite obtenue jusqu'à sa rencontre en L avec AA' et menons la droite LM prolongée jusqu'à sa rencontre en B avec la droite OB'. Entre les segments interceptés sur les deux parallèles OB et MiM par les trois droites LO, LB' et LB, issues d'un même point L, on a la relation

B'B M'M OB' ~ MiM' ' ou, en ajoutant chaque dénominateur au numérateur correspondant,

OB MiM

Fig. 157.