OB

Or MiM et MiM' représentent les ordonnées perpendiculaires an petit axe de Tellipse de deux points correspondants de Tellvpse et de son petit cercle homographique ; d'autre part OB' est le demi-petit axe de Tellipse ; il s'ensuit que OB en est le demi-grand axe.

De là la solution suivante : décrire un cercle 0 sur la droite AA' qui joint les deux âommels donnés, en la prenant comme tliamètre ; abaisser sur cette droite du point donné M la perpendiculaire MMi qui rencontre le cercle en M' ; élever à AA\ par le centre 0 du cercle la perpendiculaire OB' ; joindre B' à M' et prolonger la droite obtenue jusqu'à son intersection en L avec AA' ; la droite LM détermine par son intersection avec OB' une longueur OB* qui représente le demi-grand axe de Tellipse. La connaissance des deux axes de Tellipse permettra de tracer la courbe par Tun des procédés précédemment indiqués.

334. m. Déieiminer les points de rencontre d'une droite et d'une hyperbole' dont on donne l'axe transverse et hs doux foyers.

Soit M (fig. 458) un des points de rencontre de la droite Hl avec rhyperbole donnée. Si Ton construit le symétrique o du

Fig. 158.

foyer F par rapport à la droite Hl, en menant à celte droile 1* perpendiculaire FG et en la prolongeant d'une longueur

DAUZAT. — MârnoDOL. 67

G(p =c GF ; w de plus oh joint le point M au foyer F, Tintersection G de MF' avec le cercle directeur de centre F détermine sur MF' une longueur MC = MF ; il suit de là que le point M est le centre d'un cercle assujetti à passer parles deux points F et <p et à être tangent au cercle directeur de centre F\ D'où la solution suivante : construire le symétrique <f d^an des foyers de l'hyperbole, F par exemple, par rapport à la droite donnée ; décrire le cercle directeur ayant pour centre le second foyer F' : le centre du cercle passant par F et ^ et tangent au cercle directeur de centre F est le point cherché.

Discustion. — Ce dernier problème, auquel on ramène le proposé, a été résolu (316) et Ton a vu qu'il admet deux solutions, une seule, ou n*en admet aucune, suivant que les fleux points donnés sont à la fois extérieurs ou intérieurs au cercle, que l'un des points se trouve sur le cercle, ou que. les deux points sont Tun à Tintérieur et Tautre à Textérieur du cercle.

Il en est de même du problème en question, qui n'est dès ' lors possible^ le point F étant toujours extériei^r au cercle directeur, qu'autant que le point (p n'est pas à intérieur de ce cercle.

Si <p est à l'extérieur du cercle directeur, il y a deux solu' tiens, M et M', comme dans la figure précédente, M' centre d'un cercle passant par F et <p et tangent intérieurement au cercle directeur ; si <p est sur le cercle, il n'y a qu'une solution:

Remarque. — L'intersection d'une droite et d'une ellipse ou d'une parabole s'obtient par une construction analogue ; mais pour cette dernière courbe, la directrice remplace, dans la solution, le cercle directeur que Ton construit pour l'ellipse et l'hyperbole, de sorte que tout point d'intersection est le centre d'un cercle passant par deux points, F et (p et tangent à une i droite, la directrice de la courbe.