lY. Mener à une hyperbole une tangente parallèle à une

droite donnée.

Soit MT {fig. 159) la tangente à l'hyperbole 4onnée, parallèle è la droite HI. Si l'on joint le point M aux deux foyers F et F et que l'on mène la droite FC qui joint le premier foyer F à

rësolltion de problèmes

rintersection de MF avec le cercle directeur ayant pour centre

le second foyer F, la tangente MT est perpendiculaire au milieu E de FG.

D*où la solution suivante : mener du foyer F la perpendiculaire FC k la droite HI : la perpendiculaire élevée au milieu E de FC est la Fig. 159. tangente cherchée et le

point M où cette tangente rencontre la droite F'C est son

point de contact avec la courbe.

Discussion. — Le problème n*est possible qu'autant que la perpendiculaire menée par le foyer F à la droite donnée rencontre le cercle directeur de centre F.

Si la perpendiculaire et le cercle ont deux points communs, C et G, comme dans la figure, le problème admet deux solutions ; si la perpendiculaire est tangente au cercle, la droite donnée est parallèle à l'axe des asymptotes de l'hyperbole, et le problème n*admet qu'une solution, qui consiste dans cett^ asymptote, avec un point de contact situé à Tinfini sur chacune des branches de la courbe.

Rbmabqdb. — Ce problème se résout pour Tellipse et la parabole par des procédés analogues, avec cette différence, pour la dernière courbe, que la directrice remplace le cercle directeur auquel on a recours pour les deux autres.

336. V. Mener à une parabole une normale par un point de taxe.

Soit MN {fig. 160) la normale à la parabole donnée menée par le point N situé sur Taxe de la courbe .

Si Ton abaisse du point M la perpendiculaire MP sur Taxe, le segment PN compris entre le pied P de cette perpendiculaire et le point N représente la sous-normale dont la longueur est

constante et égale au paramètre DF.

De là la solution suivante :

porter à partir du point donné N, dans le sens NA, une longueur NP égale au paramètre DF; élever en P la perpendiculaire FM à l'axe : la droite MN qui joint le point d'intersection M de cette perpendi- Fig.160. culaire avec la courbe au

point N est la normale cherchée.

En prolongeant MF au delà de F, jusqu'à sa seconde rencontre en M' avec la parabole, on obtient une seconde normale M'N symétrique de la première. D'autre part, l'axe étant lui. même normal en A à la courbe, il s'ensuit que par un point N pris sur l'axe de la parabole, on peut lui mener trois normales. Toutefois les deux premières normales n'existent, d'après ce qui précède, que pour les points de l'axe situés à une distance du sommet A de la courbe supérieure au paramètre.

337. VI. Construire une parabole ayant pour foyer un des sommets d'un triangle et passant par les deux autres sommets.

Soit le triangle ABC {fig. 161) dont le sommet A doit être le foyer d'une parabole qui passe par les deux autres sommets B et C.

La directrice de cette parabole se trouvera à une distance BD égale à BA du point B, et à une distance CD', égale à CA, du point C.

La solution du problème sera donc la suivante : des sommets B et C du triangle donné pris comm< centres, avec des rayons respectivement égaux à BA et à CA, décrire deux cercles : la tangente DD' commune aux deux cercles est

Fig. 161.

la directrice de la parabole à construire. Il ne restera plus qu'à se servir d'un des procédés de tracé correspondants à la connaissance de la directrice et du foyer pour obtenir la construction de la courbe.

Il est à remarquer que les deux cercles, qui ont pour distance des centres un des côtés du triangle et pour rayons les deux autres côtés, sont toujours sécants, par conséquent qu'ils admettent deux tangentes extérieures communes ; il s'ensuit que le problème en question a toujours deux solutions.

§ Xn. — Calcul de droites.

338. I. Calcula* les tims hauteurs d'un triangle dont on connaît les côtés.

Dans le triangle donné ABC (fig. 162), désignons les

côtés BC, CA et AB par les lettres a, b et c; menons la hauteur AD correspondante au côté BG et désignons-la par ha.

Le triangle rectangle ABD donne la relation

h^ =c* — BD\

D'autre part, on a a^^c^^ b^

d'où

BD

En substituant à BD cette valeur dans Texpression de h\ il vient

[lac -^ fl« -f- ça ^2)(2ac — g» g» ^ i,r^

Si Ton désigne par 2p le périmètre du triangle^ c'est-à-dire

si Ton pose

on obtiendra « -h c — é = 2(jo — 6),

é — a -^ c = 2(p — g), de sorte que Ton pourra écrire

Ai =

d'où ha = ^MP-(^){p-b){p-c)

a On aurait de même

. 2v/p(p--g)(p — 6Xp— c)

Ces deux dernières expressions se déduisent de la précédente par une permutation de a respectivement avec 6 et avec e.

339. 11. Calculer les trois bissectrices (Tun triangle dont on connaît les côtés.

Désignons comme précédemment par a, b^ c, les cOtés BC,

^ GA et AB du triangle donné ABC

(fig. 163). Soit A£ la bissectrice de Tangle A; désignons-la par /«.

Menons la hauteur AD dont nous supposerons le pied D à droite du J point E. Le triangle AEG donne la relation

/i = ô* + ÈC* — 2EGXDG.

D'un autre côté on a

EG