AE AC

AB " Mi"

ou, en désignant le diamètre AE

par 2R, les côtés, la hauteur et

l'aire du triangle ABC comme

dans les problèmes précédents,

e h, d'où 2Rh, = bc.

C'eslladémonstration, jusqu'ici, d'un tliéorème précédemment énoncé '53, VII .

On tire de cette relation

Or, on a

ce qui donne

GÉOUÉTRIE ÉLÉMENTAIRE PRATIQUE

ahc

Enfin si, dans cette expression de R, on remplace S par sa valeur en fonction des trois côtés du triangle, on obtient cette autre, qui est l'expression cherchée,

afjc

Vp(p — a){p — b)(p — c)

342. V. Calculer les diagonales d'un quadrilatère inscrit dont on connaît les quatre côtés.

Désignons par a, 6, c, ci Jes quatre côtés consécutifs ÂB, BC,

CD et DA (fig. 166) d'un quadrilatère inscrit, et par x et y ses deux diagonales BD et AC.

Les propriétés du quadrilatère inscrit (53, VIII) donnent les

relations

xy = ac -{- bd,

X ah 4- cd y ôc -h ad

^'^s-iw- De sorte qu'en multipliant et

en divisant membre à membre ces deux équations, on obtient

(ac -+- bd)(ab -h cd)

bc-\-ad

d*oii

j [ac-\- bd){bc -h ad)

ab-^cd

{ac -+- bd){ab -h cd) bc-^ad

{ac -H bd){bc -4- ad) ab-^ cd

343. IV. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle de rayon donnée calculer le côté d'un polygone régulier d'un nombre double de côtés inscrit dans le même cercle.

loé»

Boit AB {fig. 167) le côté d'un polygone régulier inscrit

dans le cercle 0. Si nous menons le diamètre CD perpendiculaire à ÂB, en joignant ensuite Â à G nous aurons le côté du polygone régulier d'un nombre double de côtés inscrit dans le même cercle.

Désignons les cotés AB et AG par les lettres c et ci et le rayon du cercle par r. Le triangle AGO donne

ÂC' = ÂÔ' H- CÔ* - 2G0 X EO,

c'est-à-dire c? = î2r« — 2r X EO.

Or on a, dans le triangle rectangle AEO,

cî = 2r-î — 2ry/r5 — -^

§ XIII. — Calcul de sariaces.

344. I. Calculer l'aire d'un triangle dont on connaît les trois

côtés.

On sait que l'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un de ses côtés par la hauteur correspondante.

Eu représentant ce côté par a, la hauteur correspondante par ha et l'aire par S, on aura

S = -^ aha.

Or on a (338)

d'où

^ = >/p(p — a)[fj -- W\P - 0-

345. II. Etant donné un triangle^ avec ses médianes prises pour côtés on construit un deuxième triangle^ puis avec les médianes du deuxième on construit de même un troisième triangle et F on continue ainsi indéfiniment. Calculer la limite de la somme des aires de tous ces triangles,

A Soient ABC (fig. 168) le triangle

donné d*aire S, ÀD, BE et CF ses médianes, qui se coupent, comme on le sait (149, II et 330) en un même point et au tiers de leur longueur à partir des côtés auxquels elles aboutissent.

Si Ton prolonge Tune de ces médianes, AD par exemple, et que par le sommet B on mène une parallèle

BG à la médiane CF, on forme un triangle BGI dont les côtés

sont respectivement les — des médianes du triangle ABC.

En effet, les deux triangles BDG et IDC sont égaux comme ayant un côté égal, BD = DC, adjacent à deux angles égaux

chacun à chacun, BDG =155^ et fiBGrr'DCT; il s'ensuit que Ton a BG = IC et DG = DI; de sorte que, dans le tri-

angle BGI, le côté BG est égal aux --- de la médiane CF,

le côté GI est égal aux -r- de la médiane AD^ et BI repré-

sente les — de la troisième médiane BE.

Il résulte de là que le triangle BGI est semblable à celui que Ton construirait avec les trois médianes du triangle ABC;

et comme les côtés du premier sont les — de ceux du

second, leurs aires, en représentant par Si celle du triangle formé par les médianes, donnent la relation

jI \ 2 / 4

BGI D'autre part les deux triangles BGI et BAD^ ayant un som-

met commun B et les côtés opposés à ce sommet sur une

même droite AG, sont entre eux comme ces côtés ; on peut

donc écrire

B6I Gl 2

BDA AD ~ 3

Enfin r

on a

BDA 1 ARC ^ 2 '

Si l'on

multiplie

ces

trois égalités membre à membre, il

' vient