S, 3 ABC

OU

s. = ls.

On établirait de même, en désignant par Ss Taire du triangle formé avec les médianes du triangle Sr, par S3 Taire du .triangle formé avec les médianes du triangle Su, etc., quel^on a successivement

Sa = — Sj = S,

et ainsi de suite.

De sorte qu'en additionnant ces dernières égalités membre à membre et en ajoutant S aux deux membres du résultat, on obtient

s-f-Si-hS,-hS3-h... = (* + "4--t-4r+-jr"^ •••^s.

En désignant par X la limite de la somme de ces aires on

aura S= S=4S.

346. III. Calculer Vaire d'un octogone régulier dont on connaît ie ration.

Désignons par 0 le centre de cet octogone régulier {fty,

169) et joignons ce centre aux extrémités d'un même ' côté AB du polygone.

Le trianglQ AOB sera le haitième de Toctogone régulier :

on aura doue, en désignant par S Taire cherchée,

ou S = 4ABxOI.

Pour exprimer AB en fonc- . tion du rayon de l'octogone régulier, considérons que ce rayon, que nous désignerons par r, est celui du cercle circonscrit, et que nous connaissons l'expression ry^T du côté du carré inscrit dans ce cexcle. La formule fournie par le problème VI (343) nous donne, pour le coLé AB de l'octogone régulier,

AB = \/r[^r — vO?-» — tr^) = r yJ'i^^JY. Dès lors nous aurons, pour 01^ la valeur suhante :

= v/ro'-^=\/.'-.*^^=|v/âT7

De sorte que l'on a pour expression finale de Taire de Toctogone régulier

347. IV. Cnkulei\ dans vn cercle dont on connaît le rayon, l'aire comprise entre deux cordes parallèles situées d'un mnfyie côté du centre et les aixs qu'elles interceptent sur le cercle^ ces' deux cordes étant respectivement égales aux côtés du triangle équilatéral et du décagone régulier inscrits.

Soient, dans le cercle 0 {fig. 170) de rayon r, AB et CD les

deux cordes parallèles respectivement égales aux côtés du

triangle équilatéral et du décagone régulier inscrits dans ce cercle.

La portion de cercle ABDG est la difTérence des segments ABEÂ et CDEC ; d'autre part ces segments sont à leur tour les différences respectives des secteurs OBEA et ODEG et des triangles AOB et COD ; de sorte qu'on peut écrire

Fig. 170.

Or on a

ABDC = OBEA — AOB — ODEG -h COD .

OBEA = — ^r^

ODEC =

Ttr'

AOB= —ABxOF