S = 24EA X DE -4- (EA 4- FG) X EF -+- FG X FA

= 27r[EA(DE ■+- EF) -4- F6(EF -f- FA)],

ou bien, à cause des égalités DE -hEF = 2DE

et EF -4- FA = 2EF = 2DE,

S = 4tcDE(EA-4-FG).

Or on a, en désignant par c le côté de Thexagone régulier,

DE = c, EA = cv/3,

FG = c-,

d'où S = 4irc/^c v^ -4- c - j = 6tcc*v^.

Par l'application du théorème de Guldin relatif aux surfaces on obtient directement ce résultat. On a, en effet (187, Rem.)« en désignant par P le périmètre de Thexagone régulier, le centre de figure de ce polygone étant son centre de gravité,

8 = P.âTcOI,

et comme il vient

01 = - cv^, S = 6c.itcv^3 ■= 67ccV3.

349. VI. Exprimer Vaire d'une zone en fonction des rayons de ses bases et de sa hauteur.

Soit AMB {fig. 172) Tare de cercle générateur d'une zone

dans sa révolution autour du • diamètre CD.

L'aire de cette zone a pouV expression, en fonxîtion de sa hauteur EF = A et du rayon R du cercle 0,

S = 2icRA.

11 s'agit d'exprimer H en fonction des rayons AE = r et BF = r' de la zone.

Nous admettrons que les deux 4pbints Ë et F sont d'un même côté du centre du cercle ; s'ils étaient de part et d'autre, le raisonnement serait le même et le résultat Identique à celui que nous allons obtenir. Les deux triangles rectangles AEO et BFO donnent

r» = R« — ÔË*,