R«OF

D'autre part, on a /i = OF — OE. €i Ton remplace dans cette dernière relation OF et OE par leurs valeurs tirées des deux précédentes, on aura

Pour tirer de cette égalité la valeur de R en fonction des autres quantités qu'elle renferme^ faisons passer le second radical dans le premier membre ; il viendra

A-^V'R*— r« = /R» — r'S ou, en élevant les deux membres au carré et simplifiant,

A* -h 2Av^R2 — r» — r» = — r'», d'où, en isolant dans le premier membre le terme qui contient le f adical , 2A^R« — i^ =ri^r^*-^h\

et, en élevant de nouveau les deux membres au carré,

4A*(K« — rs) = (r« — î-^'-AV.

On tire de là 4R*A2 = (r» — r'* - A»)« + 4r«A%

•■iM

OU, en dévêloppanHe second membre et simplifiant,

4R2A» = r* -i- r'* -h A* — 2iV« 4- 2r«A» ^ 2r'»A».

Si Ton ajoute aux deux membres la quantité 4rV*, et<[u*on

simplifie le second membre, on a

4R2A» -+- 4,.ir'« = r* -h r'* -+- A* -i- 2rV* H- 2r*A« -h îr'* A^

= (r«-+-r'a-4-A*)S d'où l'on obtient

= (r«H- r'* -+- A'» -^ Sr/jlr» 4- /« -h A*— 2r/-')

= [(r-hry-hA^'Ar-r'j^ + A*:; on en tire

Cette valeur de R introduite dans l*expression de Taire de la zone donne la relation cherchée,

S ±= n>/[{r -h ïO* 4- à^\[{r — r')* -h A^. Dans le cas où la zone n'a qu'une base, on a r' = 0, et la formule précédente devient

S = iz{r^ -+- A2).

si XIV. — Calcul de volumes.

350. I. Calcule!' le volume d'un tétraèdre régulier dont on connaît Varêle, Soit un tétraèdre régulier ABCD (/ïg. 173) dont la hauteur

BC en deux parties égales, de sorte qu'on a

DE* ==GD*-CË\

par rapport à la face BCD esU AO.

Son volume en fonction de Taire de cette face et de la hauteur correspondante a pour expression

V= i-BCDxAO.

^ La face BCD est un triangle équi- j latéral dont la hauteur DE pas^e par le centre 0 et partage le côté

BÉSOLUTION DE PROBLÈMES

ou, en désignant par a l'arête du tétraèdre régulier,

DE = a»

d'où

DE = -v^;

Il s'ensuit que l'aire de la face BCD a pour expression

D'autre part le triangle rectangle AOD donne

âô' = Xd'— ôd"-

Or OD est égal aux — de DE ou de —• /3 ; on a donc