GH

c'est-à-dire que Ton a

AH = v/ÂF' H- FG* -f- GlP,

ou, en désignant l'arête du cube par a,

AH = v/3âi r= av^.

On a donc pour le volume cherché

353. J V. Dans un tétraèdre régulier dont on connaît l'arête on mène un plan sécant parallèle à deux arêtes opposées et à des distances de ces arêtes proportionnelles à deux nombres donnés. Calculer le voltcme des deux solides obtenus.

RESOLCnO.I DB PBI^BLÈHES

Soit EFGH (gg. 176; le plan sécant mené à travers le tétraèdre relier ABCD parallèlement aux deux arêtes AB et

CD et à des distances de ces arêtes proportionnelles aux denx nombres m et n.

Les deux solides déterminés sont deux prismes tronqués EFCDHG et AEHGBF.

Considérons le premier de ces prismes, à travers lequel nous mènerons le plan que déterminent la droite AB et le mUieu I de CD. Ce plan coupe les faces ACD et BCD du tétraèdre suivant deux droites L\ et IB perpendiculaires à l'arête CD ; il est par conséquent lui-même perpendiculaire à cette arête et détermine dans le prisme une section droite IJK. Le volume v du prisme EFCDBG a dès lors pour expression

v= iuKCD-+-EH-^Fr.:.

Cherchons successivement la valeur de chacune des quantités qui entrent dans le second membre de cette relation en fonction des données du problème.

Les deux triangles UK et lAB sont semblables parce que JK est parallèle à AB comme déterminée dans le plan EG, parallèle à AB, par le plan ABl contenant AB ; on a donc la relation

UK jj[ ABl ~ ÏX'

(m — rti*

d'où

IJK =

ri'

un -i- rty^

ABl

Or on a pour le triari;.'^? ABl

1080 GÉOMÉTfilE léLÉMENTAIRE PRATIQUE

ABi = I ABxiL = 4av/lr::ir = j Vt - T

in*

On a donc ÎJK = -j- r:-«Vi.

4 [m -H nf

D'autre part, on a

CD = a,

EH JA m

CD lA m -h «

d'où EH = "^ X CD = — !îi— . a ;

m -f-n m -hw

enûn F(i = EH = — a-

De sorte que le volume du prisme EFCDHG a pour formule

«2 / 2^j \ v=z^^ ; — TT-a^V'à ûH ; a)

1 nV3w -4- «) i^ (m-i-7ir On aurait de même, pour le volume v' du prisme AEIIGBF,

1 7?i*(»»H-3n) 12 (m-hn)' Cette expression se déduit de la précédente par la permutation des deux lettres m et n.

Remarque. — Si Ton additionne les expressions des deux volumes v et «', on retrouve, comme on devait s'y attendre, l'expression du volume du tétraèdre régulier en fonction de son arête.

354. V. Calculer le volume engendré par la révolution entier'» d^un pentagone régulier de rayon donné autour d'un axe passât par un de ses sommets et parallèle ou côté opposé.

En tournant autour d'un axe X'X(^[; 177) passant par son sono

RÉSOLCnOX DE PHOBLÈMES

met C et parallèle aa côté opposé AE, le pentagone régulier

ABCDE engendre on Tolame équivalent à la somme des volumesd'un cylindre ayant pour rayon AH et pour hauteur AE, et de deux troncs de cône égaux ayant pour rayons AH et BG et pour hauteur GH, somme diminuée des volumes de deux cônes égaux ayant pour rayon BG et pour hauteur GC.

En désignant par v le volume du cylindre, par v' le volume

de chaque tronc de cône, par t;* le volume de chaque cône et

par Y le volume total, on a

Cherchons successivement l'expression de v, 2r' et iv" en fonction du rayon r du pentagone régulier. On a d'abord

Fi?. 177.

t> = ^AH xHI.

ah = lo-i-oc = v/ao'— al'

r=—riP-}-y^]

Hl = AE= — ;,y/10 — 2vo,

d'où

^=^"'^r^iJy-^~oy.Y'^\^^o-^is

= -^^rV3-+-2v^-

D'autre part, on a

1082 GÉOMÉTBIE ÉLÉMENTAIRE PKATIQUE

„„ GJ — HI BD — AE d^ — c^ Or GH = — ^=— 2— =-2-

= * r (y/10 H- ty/l - v/lU — «v'S) = i.rv/5-2v'8 et BG = */BC'-GG* = i/BC*-^

= v/- '-nio - 2v^) - A ''*(*^ -t- 2v/5) = 4" '■^^ " ^'

d'où ,/ = lie r 1 r«(5 H- v/S)* -H -Jg «-«(S - ^|%Y

et ât/ = -|icr«y'5 — 2*^8

Enfin, on a

o' = - itBG* X GC.

GC = i BD = -^ rv/i0-^-2«^3,

d'où «• = i-it.JL;-(5 v'5) .i-VlO-l-SV^

et 2o"=-7crV5 — 2</8.

De sorte que l'on a, pour le volume cherché, V = - -m^s/ 5 H- 2 ^ 4- |W5 - 2^ - ^ Ws — 2^5

= - «rV (v S -t- 2v^5 -h y/ 5 - 2^^»/