RÉS0LL'T10!< DE PHOBLÈMBS

Par l'applicatioa da théorème de Guldia relatif aoxTolai on obtient directement ce résultat. On a. en effet ^IS7 désignant par 5 l'aire da pentagone régulier, le centr t figure de ce polygone élant son centre de grarité, V = S.2=0C, et comme S = 5.A0E = |-AExLO

il vient V = |^r\ IO-^2»/5.2xr

NOTE SUR L4 GÉOMÉTROGRAPfllE

ou L'ART DES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES

355. Tonte construction géométrique comprend une suite plus ou moins longue d'opérations élémentaires, qui s'effectuent avec la règle ou le compas, et quelquefois avec Téquerre; on conçoit dès lors que la simplicité d*une construction dépende de ces opérations élémentaires et soit, d'une manière générale, d'autant plus grande que leur nombre est plus petit.

Compter les opérations élémentaires des constructions géométriques ; comparer, en se plaçant à ce point de vue, deux ou plusieurs constructions relatives à une même question ; établir par suite, sinon d'une manière rigoureuse, tout au moins

approximative, le degré de simplicité de chaque construction :

M est l'objet de la Géométrographie, que Ton doit à un mathématicien français, M. E. Lemoine.

Dans son mémoire sur la Géométrographie ou la simplicité réelle des constructions géométriques^ M. E. Lemoine s'exprime aii^i : « Le géomètre ne s'occupe que de la brièveté de Texpression dans sa démonstration, c'est tout ce qu'il doit viser; celui qui construit ce qu'a exprimé le géomètre est placé à un tout autre point de vue, et il faut quelquefois de nombreuses opérations avec la règle et le compas pour placer sur l'épure un point que le géomètre a déterminé en deux mots; il y a d(Aic deux genres très différents de simplicité en géométrie : la simplicité didactique dans l'exposition de la science, la seule qu'on ait considérée réellement jusqu'ici, et la simplicité

1086 ' ^OTG SUR LA GÉOHÉTROGftAPHIE

de la construction, très distincte de la première, et quf n'avait jamais été étudiée. »

Pour arriver à l'expression de cette simplicité, l'auteur de'la Géométrographie adopte les notations suivantes :

op (Ri) désigne l'opération qui consiste à faire passer le bord de la règle par un point marqué, par suite

op (2Ri) c'est, spéculativement, faire passer le bord dç la règle par deux points marqués ;

op (R,) c*est tracer une droite en suivant un bord de la règle ;

op (R,) c'est faire coïncider le bord de l'équerre avec un point marqué, par suite op (2Ri) c'est faire coïncider le bord de l'équerre avec une droite tracée ; .

op.(E) c'est faire glisser Téquerre le long de là règle jusqu'à ce que le bord passe par un point donné ;

op (Ci) c'est mettre une des pointes du compas en un point marqué, par suite op(2Ci) c'est, spéculativement, prendre avec le compas une longueur donnée ;

op(Cs) c'est mettre une des pointes du compas en un point indéterminé d'une ligne tracée ;

op(Cs) c'est tracer un cercle.

De sorte que toute construction géométrique peut être représentée par un symbole de la forme générale suivante :

op (mRi H- nR, H- joE -+- qd -h rd H- sK» 4- /C3),

dans laquelle m, n, ;?,... sont des nombres entier^.

he nombre total m-i-nH-p-hç-h rn- s+ t des opérations élémentaires, qui est en raison inverse de la simplicité de la construction, s'appelle le coefficient de simplicité ; et le nombre m + n-f-p-h^r-t-r des seules opérations de préparation dont dépend l'exactitude de la construction, s'appelle le coefficient (inexactitude.

Appliquons maintenant ces données à quelques questions connues.

356. I. Par uA point pris hors d'une droite , mener la perpendiculaire à cette droite,

i^ Du point 0 pris comme centre {fig. 178), avec un rayon

NOTE 8VH LA GËOUËTftOGBAPHlE

arbitraire, mais plas grand que la distance da point à la di oa décrit un cercle qui cou droite AB en deux points C <

Op(C,-HC»).

De chacun des points C et D comme centres, avec on i rayon arbitraire, plus gran< la moitié de CD, on décrit cercles qui se coupent :

op(2C.-f-2C).

¥lg. 178.

Enfin, enjoint le point 0 h l'un des points d'intersecti des deux cercles : op (2R, ■+■ K,).

La coRstraclion a ainsi pour symbole le suivant : op(2B, + 3C,+ R,-l-3C3), qui donne : simplicité, 9 ; exactitude, 6.

î* Par l'emploi de la règle et de l'équeire, on plaee l'éq

{fig. 479) de manière qu'un des eûtes de l'angle droit coï

avec la droite : op(2R'i

applique la règle & cù

l'équerre de manière q

- s'appnie sur l'hypotémi

l'on fait glisser l'équei

long de la règle jusqi:

que le second côt^ de 1

droit passe par le p<

Fig.f!9. op{E). On trace enfin si

ce câtéane droite qui est la perpendiculaire cliercii<'-n : o

Cette construction a dès lors pour symbole

op{2R'i + E+ tl,).

d'où : simplicité, 4 ; exactitude, 3.

357. II. Pitr un point 0 prU lion il'uiW iti-ol" Vit '». ... parallèle à celle droite.

f Du point 0, pris comme cciilic i/c/' IMiii, innn lui