DÉCIMAUX
Si Ton
admet cette existence, on peut écrire
d^où l'on
tire
axlO"
c'est-à-dire que pour obtenir le nombre décimal équivalent à un nombre fractionnaire, on divise le numérateur de ce nombre fractionnaire par son dénominateur, après avoir multiplié le numérateur par iO", autrement dit par une puissance de iO telle que la division se fasse exactement ; ou bien, ce qui revient au même, on commence la division, au sens des nombres entiers, du numérateur par le dénominateur, et Ton multiplie par iO chacun des restes successifs de la division, pour convertir le numérateur, d'abord en dixièmes, puis en centièmes, en millièmes, etc., et obtenir ainsi autant de chiffres décimaux qu*il en faut pour constituer le quotient exact. Le nombre décimal limité ainsi obtenu comme quotient est égal aa nombre fractionnaire considéré.
S'il n'existe pas de nombre fractionnaire décimal égal à
T> on peut se proposer de chercher le plus grand nombre
d d'unités décimales d'un ordre donné n contenu dans -ri et si
k est ce nombre d'unités, on peut écrire la double inégalité
k a A'-hl
d'où, en en multipliant tous les membres par 10",
c est-à-dire que pour obtenir k on divise encore le numérateur du nombre fractionnaire par son dénominateur, après avoir multiplié le numérateur par 10" ; ou bien, ce qui revient au même, on commence la division, au sens des nombres entiers, du numérateur par le dénominateur, et l'on réduit le numérateur successivement en dixièmes, en centièmes, en
&&UUT. — MiTHODOL» 6
millièmes, etc., jusqu'à ce qu'on ait obtenu au quotient le nombre n de chiffres décimaux prévus.
Mais si, au lieu de s'arrêter au n^ chiffre dj^cimal, on poursuit la division, l'opération peut alors se continuer indéfiniment. Les restes successifs présentent cette particularité qu'étant tous inférieurs au diviseur, ils sont nécessairement en nombre limité quant à la figure et se reproduisent alors, d'une manière totale ou partielle, à partir de Tun d'eux^ indéfiniment et dans le même ordre, c'est-à-dire périodiquement. Il en résulte qu'à partir de cette reproduction dans les restes, le même phénomène se produit dans les chifTres du quotient, lequel se trouve être ainsi un nombre décimal indéfini et périodique. L'ensemble des chiffres qui se reproduisent prend le nom de période.
Lorsque dans un nombre décimal périodique la période commence immédiatement après la virgule, ce nombre est dit périodique simple; dans le cas contraire, il est dit périodique mixte ^ et les chiffres décimaux qui précèdent la période forment Idipartienon périodique ou irrégulière de ce nombre. Un nombre décimal périodique inférieur à l'unité est une fraction décimale périodique.
On appelle fraction génératrice d'une fraction décimale limitée ou périodique la fraction ordinaire qui lui a donné naissance.
118. Première idée de la notloD de limite d'une quantité variable. — Pour représenter une fraction décimale périodique, il faut nécessairement la limiter à un certain nombre de ses chiffres, dont la suite est indéfinie. Il en résulte que la valeur d'une fraction décimale ainsi restreinte est d'autant plus grande qu'elle comprend plus de chiffres ; en d'autres termes, cette fraction va en augmentant par degrés successifs au fur et à mesure qu'on la considère avec 1, 2, 3, 4,... chiffres décimaux.
Quant à l'erreur commise en s'arrélant à un chiffre décimal déterminé, elle est moindre qu'une unité de l'ordre de ce chiffre, parce que dans la génération des fractions décimales périodiques on écrit au quotient, pour chaque division partielle,
le chiffre le plus élevé, et que si Ton ^'outait alors une unité à Tan de ces chiffres, le quotient serait à partir de ce moment plas grand que la fraction ordinaire génératrice.
Il suit de là qu'une fraction décimale périodique est une quantité variable qui crott indéfiniment avec le nombre de ses chiffres, tout en restant inférieure aune certaine quantité fixe^ la fraction ordinaire génératrice ; mais la différence entre ces deux quantités va sans cesse en diminuant et finit par être inférieure à toute unité décimale donnée, quelque éloigné qaen soit Tordre. Pour cette raison, on dit que la fraction génératrice d'une fraction décimale périodique est la limite Ters laquelle tend cette dernière lorsque le nombre de ses chiffres augmente indéfiniment.
D'une manière générale, on appelle limite d'une quantité variable une quantité fixe dont la première se rapproche sans cesse, dans son augmentation ou sa diminution continue, de manière à en différer d'aussi peu qu'on le veut^ mais sans pou- Toirjamais l'atteindre.
§ IV. — Fractions ordinaires génératrioes des ir actions
décimales.
119. Lorsqu'on veut remonter d'une fraction décimale à sa fraction ordinaire génératrice, deux cas généraux peuvent se présenter : ou la fraction décimale est limitée, ou elle est périodique.
Dans le premier cas, par définition, la fraction ordinaire génératrice a pour numérateur la fraction décimale écrite sans rii^^le, et pour dénominateur une puissance de 10 représentée dans son développement par autant de zéros qu'il y a de chiffres décimaux dans la fraction décimale proposée.
La solution du second cas repose sur le principe suivant : 5i, dans un nombre décimal indéfini, on déplace la virgule de 1, 2, 3, ... rangs vers la droite ou vers la gauche^ on multiplie ou Von divise par 10, 100, 1000, ... la limite de ce nombre déeimaL
Soit, en effet, le nombre décimal indéûni 0,6818181. . ., dont nous désignerons la limite par L. Si Ton arrête ce nombre décimal à son n« chiffre p et qu'on représente par e ce qui lui manque pour valoir la limite L, on aura
En multipliant les deux membres de cette égalité par une puissance quelconque de 10, 1000 par exemple, il viendra
1000 L = 681,8181 ...ph-1000ê.
Or e est une quantité qui tend vers zéro lorsque n devient de plus en plus grand ; il en est donc de même de 1 000 e ; d'où il suit que le nombre décimal indéfini 681,8181 ... a poar limite lOOOL.
. Cela posé, revenons à la recherche de la fraction génératrice d*une fraction décimale périodique. A son tour, cette question en comprend deux autres, qui correspondent aux deux modes possibles de périodicité de cette fraction décimale.
1® La fraction décimale est périodique simple, — Soit, comme exemple, la fraction 0^375375375 . . . , et désignons par L sa limite à chercher. On peut écrire.
L = limite de 0,375375375. . . .
D'après ce qui précède, en déplaçant la virgule vers la droite pour la mettre après la première période, on multiplie la limite par 1 000 ; on aura donc
1 000 L = limite de 375,375375. . . ,
ou 1 000 L = 375 -h limite de 0,375375. . . ,
ou 1000L = 375h-L,
et, en diminuant de L les deux membres de cette dernière
égalité,
d ou L = — >
ce qu'on traduit en langage ordinaire :
La limite d'une fraction décimale périodique simple est une fraction ordinaire qui a pour numérateur le nombre entier
NOMBRES DÉaMAUX 85
formé par une période et pour dénominateur un nombre exprimé par autant de 9 qu^il y a de chiffres dans la période.
Celte limite, d'autre part, est la fraction géaératrice de la fraction décimale périodique simple considérée, car si elle pouvait donner naissance à toute autre fraction décimale, on aurait une même limite pour deux fractions décimales différentes ; or cette hypothèse est inadmissible, parce qu'à partir de Tordre décimal où ces deux fractions commenceraient à différer^ elles auraient nécessairement des limites distinctes.
La fraction périodique simple 0,9999... fait exception à
cette dernière considération ; elle a pour limite la fraction
ordinaire obtenue par Tapplication de la règle précédente, g
— ' qui donne pour quotient Tunité ; mais elle n'a pas de
fraction génératrice.
2® La fraction décimale est périodique mixte, — Soit, comme exemple, la fraction 0,25371371371. . . et désignons par L sa limite à chercher. On peut écrire
(1) L = limite de 0.25371371371 . . .
En déplaçant la virgule vers la droite pour la mettre d'abord après la partie non périodique, on a
100 L = limite de 23,371371371 . . . , ou 100 L = 25 4- limite de 0,371371371 . . . ,
ou enfin, en désignant par Li la limite de 0,371371371. . . ,
(2) lOOL = 25-+-L,.
En portant ensuite dans (1) la virgule après la première période, il vient
100000 L = limite de 25371,371371. . ., ou 100 000 L = 25371 -4- limite de 0,371371. . .,
ou enfin
(3) 100000 L = 25371 -i- Li.
En retranchant (2) de (3), membre à membre, on obtient
100000L — 100L = 25371—25, ou ;99900L = 25371— 25,
86 ARITBMÉTIQUE THÉORIQUE
ce qui se traduit comme suit en langage ordinaire :
La limite d'une fraction décimale périodique mixte est une fraction ordinaire qui a pour numérateur l'excès du nombre entier formé par la partie non périodique suivie d'une période sur le nombre formé par la partie non périodique^ et pour déno--' minateurun nombre exprimé par autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période^ suivis d'autant de zéros qu'il y a de chiffres dans la partie non périodique .
Pour des raisons identiques à celles que nous avons données à propos des fractions périodiques simples, cette limite est la fraction génératrice de la fraction décimale périodique mixte considérée.
Toute fraction décimale périodique mixte dont la p«^riodeest 9 fait exception à cette dernière considération. Ainsi, la fraction décimale périodique 0,3129999... a pour limite la fraction ordinaire obtenue par Tapplication de la règle précédente,
— qTvmî — ^^ Ô7ÛÏÏÎ' ^^* ®^^ exactement égale a la fraction y uuu yuuu
décimale finie 0,313; mais elle n'a pas de fraction génératrice.
120. On peut trouver la fraction génératrice d'une fraction décimale périodique sans Tintervention des limites, de la manière suivante :
r Soitla fraction décimale périodique simple 0,435435435... ;
désignons par -j- sa fraction ordinaire génératrice. D'après les
a opérations que demande la conversion de -r- en 0,435435435...,
pour obtenir au quotient la première période, il faut multiplier a par 1000; l'on retrouve, comme reste correspondant, le nombre a. De sorte qu'en s*appuyant sur la relation qui existe entre le dividende, le diviseur^ le quotient et le reste d'une division impossible de nombres entiers, on peut écrire
axlOOO = 6x435 -h a,
ou, en retranchant a de chaque membre de Tégalité,
ttX999 = 6x435,
et, en divisant par 6x999 les deux membres de cette dernière,
6 " 999 ' 2» Soit la fraction décimale périodique mixte 0,28435435435. . ^
désignons encore par -r- sa fraction ordinaire génératrice.
Dans les opérations de conversion, on obtient la partie irréguiière 28 après avoir multiplié a par 100 ; si r est le reste correspondant, on peut écrire
axl00= 6x28 -hr.
Ce reste r, qui est égal à a X 100 — 6 X 28, et qui est plus petit que 6, peut être considéré comme le numérateur d'une fraction ordinaire ayant h pour dénominateur et qui est génératrice de la fraction décimale périodique 0,435435435
D'après le premier cas, on a donc
ou
et, en simplifiant,
b " 999 aXl00~6x28 435 b ""999'
Si Ton ajoute 28 aux deux membres de cette dernière égalité, et qu'on mette le second membre sous la forme fractionnaire, il vient successivement
(*) Nous empruntons cette démonstration aux Leçons d'Arithmétigup de M. Jules Tannery.
et, en divisant par 400 les deux membres de cette dernière égalité, on a finalement
^ 28435 — 28 b ~ 99900 Les résultats, dans les deux cas, sont exactement ceux que nous avons trouvés par la précédente méthode.
