Caractères de transformation des fractions ordinaires

— 11 existe des caractères qui permettent de reconnaître d'avance la nature du nombre décimal auquel peut donner naissance par la conversion un nombre fractionnaire irréductible ; ces caractères font l'objet des théorèmes suivants :

I. Pour qu'un nombre fractionnaire irréductible puisse être converti en un nombre décimal limité, il faut et il suffit que son dénominateur ne contienne pas d'autres facteurs premiers que 2 ef5. Le nombre des chiffres décimaux est égal au plus grand exposant des facteurs ^ et S de ce dénominateur.

II. Pour qu'un nombre fractionnaire irréductible donne naissance à un nombre décimal périodique simple, il faut et il suffît que son dénominateur ne contienne aucun des facteurs premiers 2 et 5. Le nombre des chiffres de la période est égal à Vexposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par le dénominateur du nombre fractionnaire, donne pour reste l'unité.

III. Pour qu'un nombre fractionnaire irréductible donne naissance à un nombre décimal périodique mixte, il faut et il suffit que son dénominateur contienne au moins U7i des facteurs premiers 2 et o en même temps que des facteurs premiers différents de 2 et de 5. Le nombre des chiffres de la partie non périodique est égal au plus grand exposant des facteurs 2 e^ 5 du dénominateur, et celui des chiffres de la période à Vexposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par le produit des facteurs premiers du dénominateur autres que 2 et 5, donne pour reste l'unité.