CHAPITRE VII
§ I. — Définitions et principes généraux.
122. Déftniilons. — L'étude des nombres entiers et des nombres fractionnaires nous a appris ce qu'on entend pàv puissance d'un nombre dans l'un et lautre cas, et comment on forme one puissance donn^ d'un nombre entier ou fractionnaire. Dans ce qui va suivre, nous nous occuperons des procédés employés, étant donnée une puissance d'un nombre, pour calculer ce nombre, qui porte le nom de racine par rapport à sa puissance .
En précisant, on appelle racine m^ d'un nombre un autre nombre dont la m' puissance reproduit le premier.
On représente la racine m^ d'un nombre a par l'expression VûT. Le degré de la racine est marqué par le nombre m qu'on appelle indice ; le signe /"" porte le nom de radical.
La racine 2« s'appelle racine carrée; la racine 3% racine cubique ; les attires n'ont pas de nom particulier.
Chercher la racine m* d'un nombre, c'est donc former un antre nombre qui, élevé à la m* puissance, reproduit le premier : l'opération «à effectuer s'appelle une extraction de racine m*.
Un nombre qui est la m^ puissance d'un autre est dit une puissance m« parfaite.
123. Prinelpes généraux. — Nous avons déjà énoncé sur les puissances un certain nombre de propositions (65,107); celles qui suivent en sont le complément dans la théorie générale des puissances et des raoines.
I. Un nombre entier qui n'est pas une puissance m^ parfaite n'est la m* puissance d'aucun nombre fractionnaire,
II. Un nombre fractionnaire irréductible dont les deux termes ne sont pas des puissances m** parfaites n'est la puissance m^ d'aucun nombre entier ou fractionnaire,
III. Un nombre entier est une puissance m* parfaite lorsque^ décomposé en ses facteurs premiers, tous ces facteurs sont affectés d'exposants divisibles par w, et réciproquement.
IV. La racine m^ d'une puissance d'un nombre, dont l'exposant est divisible par m, est égale à une autre puissance de ce nombre ayant pour exposant le quotient du premier exposant par m.
V. La racine m« d'un produit de fadeurs dont les exposants sont tous divisibles par m est égale au produit des racines m«* de ces facteurs.
VI. La racine m^ d'un nombre fractiomîaire dont les deux tei^ mes sont affectés d'exposants divisibles par m est égale au quotient des racines m«* de ses deux termes.
Enfin, se rapportant aux propriétés élémentaires des égalités et des inégalités :
VII. On peutf sans troubler une égalité ou le sens d*une inégalité^ en extraire une même racine quelconque des deux membres ,
§ II. — Racine carrée.
124. Définitions. — D'après les données générales qui précèdent, chercher la racine carrée d'un nombre, c'est former un autre nombre qui élevé au carré reproduit le premier.
L'opération qui a cette recherche pour objet est généralement impossible, car un nombre quelconque est très rarement un carré. Pour se rendre compte du fait, il suffit, par exemple, de former successivement les carrés des nombres entiers naturels. On trouve d'abord que parmi les 100 premiers nombres entiers il n'y en a que 10 qui soient des carrés parfaits,
soit J-; puis, on voit que cette proportion va sans cesse en
décroissant au fur et à mesure qu*on avance : ainsi, les 10000
premiers nombres entiers ne contiennent que 100 carrés par-
faits, soit •— ; le 1000000 de premiers nombres entiers n*eii
contient que 1000» soit .-7^^» et en continuant à envisager
des quantités successivement 100 fois plus grandes les unes qae les autres de nombres entiers consécutifs pris à partir de TuDité, on obtient des proportions de carrés parfaits telles que chacune d'elles est 10 fois plus petite que la précédente. D'autre part, il résulte du théorème I (123) qu'un nombre entier qui n'est pas un carré parfait n'est pas le carré d'un nombre fractionnaire. Enfin, comme ces considérations, complétées par Tapplicalion au carré du théorème II (123), conviennent aussi aux nombres fractionnaires, cette rareté dénombres carrés parfaits est ainsi démontrée.
En présence de cette impossibilité ordinaire de Textraction de la racine carrée exacte de nombres donnés, on a dû chercher des procédés de calcul pour obtenir des racines carrées approchées.
125. Racine carrée à une unité près d*un nombre entier. — La racine carrée à une unité près d'un nombre entier quelconque est ta racine carrée du plus grand carré entier contenu dans ce nombre.
Si le nombre entier dont on veut avoir la racine carrée à nne unité près est plus petit que 100, cette racine carrée est inférieure à 10, et elle est donnée parle tableau des carrés des neuf premiers nombres entiers.
Mais si le nombre entier est plus grand que 100, sa racine carrée à une unité près est supérieure à 10 ; elle est un nombre entier qui comprend des dizaines et des unités. La règle à suivre pour calculer cette racine carrée repose essentiellement sur la connaissance de la composition du carré d'un nombre formé de dizaines et d'unités. Pour l'établir, on démontre d'abord le théorème suivant :
I. Le carré de la somme de deux nombres se compose de la somme des carrés de ces deux nombres augmentée de leur double produit.
On en déduit cette conséquence :
II. Le carré d'un nombre formé de dizaines et d'unités se compose : 1® du carré des dizaines; 2" du double produit des dizaines par les unités ; 3° du carré des unités.
Et Ton complète cette dernière proposition par cette autre :
III. Le nombre de dizaines de la racine carrée à une unité près d'un nombre entier quelconque est égai à la racine carrée à une unité pr^ês du nombre de centaines de ce nombre entier.
Gela posé, considérons d'abord un nombre entier plus grand que 100, mais plus petit que 10000, le nombre 4095 par exemple, et proposons-nous d'en extraire la racine carrée à une unité près. Cette racine, plus grande que 10, mais plus petite que 100 dont le carré est 10000, aura deux chiffres et, d'après le théorème III précédent, on en obtiendra le chiffre des dizaines en extrayant la racine carrée^ à une unité près, du nombre 40^ qui résulte de la séparation des deux derniers chiffres à droite du nombre proposé et qui représente ainsi les centaines de ce même nombre : le tableau des carrés des neuf premiers nombres donnera le chiffre 6. Pour obtenir celui des unités, on remarquera que si du carré N* d'un nombre formé de dizaines et d'unités on retranche le carré des dizaines, qui est connu, il reste le double produit des dizaines par les unités, plus le carré des unités ; et comme la première de ces deux parties restantes représente un nombre exact de dizaines, on en conclut qu'elle est exclusivement contenue dans les dizaines de N', après en avoir retranché le carré des dizaines. Dans notre exemple, le carré des dizaines, 36 centaines ou 3600^ retranché de 4095, donne le reste 495, qui contient 49 dizaines, lesquelles représentent le double produit des dizaines de la racine par les unités, plus les dizaines qui peuvent provenir du carré des unités et de l'excès de 4095 sur le carré de la racine cherchée. Il en résulte qu'en divisant 49 dizaines par le double, 12, des dizaines de la racine, le quotient obtenu ne sera pas trop faible, mais il pourrait être trop fort. Pour l'essayer comme chiffre des unités de la racine, on Técrit à la droite du double des dizaines et l'on multiplie le nombre 124 ainsi formé
rr-T-
par ce même quotient 4; de cette manière on obtient la somme du double produit des dizaines par les unités et du carré des unités, que Ton essaie de retrancher de 495 : si la soustraction était possible, le chiffre 4 serait celui des unités ; mais comme elle ne Test pas, il faut diminuer ce chiffre d*une unité et essayer le chiffre 3, que Ton reconnaît être bon ; la racine carrée à une unité près da nombre 4095 est ainsi 63. L'excès de 4095 sur le carré de 63 est 126 ; c*est ce qu'on appelle le reste de l'opération. Si ce reste était nul, le nombre proposé serait un carré parfait. Au cas où le chiffre 3 eût été trop fort, on l'aurait diminué d'une ou de plusieurs unités pour faire des essais jusqu'à ce que la soustraction devint possible.
Prenons maintenant un nombre entier quelconque plus grand que 40000, par exemple le nombre 2743286. Sa racine carrée à une unité près, plus grande que 10, contiendra des dizaines el des unités et, d'après le théorème 111 (125), le nombre de ces dizaines est égal à la racine carrée du nombre 27432, qui résulte de la séparation des deux derniers chiffres de droite du nombre proposé, et qui représente ainsi les centaines de ce même nombre. On est ainsi amené à extraire la racine carrée à une unité près du nombre 27432, qui a deux chiffres de moins que le proposé. Or ce nombre 2743i est plus grand que 100, et sa racine carrée à une unité près, plus grande que 10, contient des dizaines et des unités. Le nombre de ces dizaines est à son tour égal à la racine carrée à une unité près du nombre 274, qui résulte de la séparation des deux derniers chifires de droite du nombre 27432 et qui représente les centaines de ce même nombre. De nouveau, on est conduit à extraire la racine carrée à une unité près d'un nombre, 274, qui contient deux chiffres de moins que le précédent. Gomme ce nombre, plus grand que 100, est plus petit que 10000, nous sommes ramenés au premier cas. La racine carrée 16 de 274 représente les dizaines de la racine carrée du nombre 27432 ; on trouve le chiffre 5 des unités de cette dernière racine par le même procédé que pour trouver les unités de la racine carrée de 274. La racine carrée 165 du nombre 27432 représente à
son tour les dizaines de la racine carrée du nombre proposé 2743286 ; on calcule le chilTre 6 des unités de cette dernière racine en employant encore le procédé suivi pour calculer les unités des racines carrées des nombres 274 et 27432 : on a dès lors obtenu à une unité prés la racine carrée 1 656 du nombre entier proposé 2743286 ; l'opération donne pour reste 950. De l'ensemble de ce raisonnement, on tire la règle suivante pour extraire la racine carrée d'un nombre entier quelconque, à une unité près.
Pour ex l mire la racine carrée d'un nombre entier quelconque ^ à une unité près, on partage ce nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite. On extrait la racine carrée à une unité près de la première tranche à gauche, qui peut n^avoir qu'un chiffre, et le résultat obtenu est le premier chiffre de la racine . On soustrait de cette première tranche le caiTé du chiffre obtenu ; à la droite du reste ^ on écrit le premier chiffre de la deuxième tranche ; on divise le nombre ainsi formé par le double du premier chiffre, et Von a le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On Vessaie en décrivant à la droite du double du premier chiffre et en multipliant le nombre ainsi formé par ce second chiffre : le résultat doit pouvoir se retrancher de l'ensemble des deux premières tranches à gauche du nombre proposé. Ce deuxième chiffre de la racine étant trouvé après un ou plusieurs essais, on écrit A la droite du reste correspondant le premier chiffre de la troisième tranche ; on divise le nombre ainsi formé par le double de la partie déjà trouvée de la racine^ et Von a le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On Vessaie en V écrivant à la droite du double de la partie déjà trouvée de la racine et en multipliant le nombre ainsi formé par ce troisième chiffre : le résultat doit pouvoir se retrancher de Vensemble des trois premières tranches à gauche du nombre proposé. On continue ainsi jusqu'à ce que toutes les tranches de ce nombre soient épuisées.
L'application de cette règle donne évidemment la racine carrée exacle si le nombre proposé est un carré parfait.
Remarque ï. — Comme conséquence de ce qui précède, le
nombre des chiffres de la racine carrée à une unité près d'un nombre entier est égal au nombre des tranches de deux chiffres que Ton peut faire dans ce nombre à partir de la droite, la dernière i gauche pouvant n'avoir qu'un chiflre.
Remarque II. — Il peut arriver, au cours des opérations pour extraire une racine carrée, qu'en diminuant de plus d'une unité un chiffre essayé dans le but d'abréger le nombre des essais, on ait un chiffre trop faible : le fait se reconnaît à l'inspection du reste partiel correspondant, qui doit toujours être inférieur au double de la racine trouvée plus Tunité, en vertu de ce que la diff'érence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale au double du plus petit nombre plus Vunité.
Cette importante proposition peut s'énoncer d'une autre manière, car, a et a + 1 étantdeux nombres entiers consécutifs quelconques, elle s'exprime par la relation
{a-M)«— a* = 2a-f-l, identique à cette autre :
dont la traduction en langage ordinaire donne : la diff'érence des carrés de deux nombres entiers consécutifs est égale à la iomme de ces deux nombres.
Remarque III. — Du théorème H (125) il découle que le carré d'un nombre entier supérieur à iO est nécessairement terminé à droite par le même chiffre des unités que le carré des unités de ce nombre . Or, comme les carrés des nombres représentés par les neuf chiffres signiûcatifs sont terminés par les seuls chiffres 1, 4, 5, 6 et 9, et que d'autre part le carré d'un nombre exact dedizaines, de centaines, etc., est nécessairement terminé par an nombre pair de zéros, il en résulte ce caractère d'imposnbilité pour un nombre entier d'être un carré parfait: se terminer par l'un des chiffres 2, 3, 7, 8, ou par un nombre impair de zéros.
126. La preuve d'une extraction de racine carrée à une unité près d un nombre entier peut se faire de deux manières différentes :
1** En élevant au carré la racine carrée trouvée et en ajoutant
au résultat obtenu le reste de l'opération d*extraction, s'il y en a un : cette somme doit reproduire le nombre proposé ;
2" En opérant — comme pour la preuve de la multiplication — sur les restes par rapport à un module quelconque du nombre proposé et des divers nombres qui doivent servir à reconstituer le premier. C'est ce qui s'appelle faire la preuve par ce module, qui est généralement 9 ou il .
127. Racine carrée à une unité près d*un nombre fractlonnatre. — La racine carrée à une unité près d'un nombre fractionnaire est la racine carrée du plus grand carré entier contenu dans ce nombre.
Soit un nombre fractionnaire N-f-/, N représentant la partie entière et f la partie fractionnaire, moindre que Tunité; si l'on désigne par k la racine carrée à une unité près de N, on aura A* < N < (A: -h 1)',
et, a fortiori^ A* < N -h /".
Or, comme (Ah-1)« est au moins supérieur à N dune unité, il est plus grand que N + /* ; on aura donc aussi
Cette dernière double inégalité, rapprochée de la première, montre que la racine carrée A, à une unité près^ d'un nombre fractionnaire N -H / est exactement celle de sa partie entière N.
D'où il suit que la question est ainsi ramenée à la précédente.
