Racine carrée à une fraction -^ près d'un nombre
quelconque entier ou fractionnaire. — La racine carrée à
P une fraction -=- près d un nombre entier ou fractionnaire est
le plus grand multiple de la fraction — dont le carré est au
q plus égal à ce nombre.
Soient N un nombre quelconque, entier ou fractionnaire, et A -^ le plus grand multiple de ^ dont le carré est au plus
égal à N. On aura
et, en multipliant tous les membres de ces dernières inégalités
ce qui signifie que /; est la racine carrée à une unité près du
nombre entier ou fractionnaire N ■— •
On lire de là que pour oblenh\ à une fraction — prf}s, la
P mcine carrée k— d'un nombre quelconque^ entier ou fraction-
nuire, il faut multiplier ce nombre par le carré ^ de Vinverse de
la fraction d'approximation , extraire la racine carrée k à une unité près du résultat et multiplier cette racine par la fraction d'approximation,
Rkmarqub I. — Si la fraction d'approximation est représentée
par une unité d'un ordre décimal — - ^ il résulte de ce qui
précède que k est la racine carrée à une unité près de la partie entière du nombre N X (10»)*, et que la racine cherchée est
Remarque II. — L'extraction de la racine carrée, à une fraction — - près, d'un nombre entier qui n'est pas un carré
parfait, donne, si n est indéterminé, une suite indéfinie de chiffres décimaux qui se succèdent d'après une loi dépendant de la Dature de l'opération ; mais il n'y a pas de périodicité dans cette succession, car s'il en était autrement, il y aurait un nombre fractionnaire ordinaire générateur de ce nombre fractionnaire décimal périodique, dont le carré reproduirait exactement le nombre proposé. On a vu (123) que cela ne peut être.
DACZAT. — MÉTHODOL. 7
98 ABITHMÉTIQUE THÉORIQUE
§ m. — Racine cubique
129. Définlilon. — Nous savons (122) que chercher la racine cubique d'un nombre, c'est former un autre nombre qui élevé au cube reproduit le premier.
L'opération qui a cette recherche pour objet est généralement impossible parce qu'un nombre quelconque est rarement un cube. En effet, en formant successivement les cubes des nombres entiers naturels, on trouve que parmi les 1000 premiers
nombres entiers, il n'y en a que 10 qui soient des cubes parfaits,
soit j-—. et l'on voit, en allant au delà, que cette proportion
va sans cesse en diminuant: ainsi, le 1000000 de premiers
nombres entiers ne compte que 100 cubes parfaits, soit %
et en continuant à envisager des quantités successivement 1000 fois plus grandes les unes que les autres de nombres entiers consécutifs pris à partir de l'unité, on obtient des proportions de cubes parfaits telles que chacune d'elles est 1 000 fois plus petite que la précédente . D'autre part, il résulte du théorème I (123) qu'un nombre entier qui n'est pas un cube parfait n'est pas le cube d'un nombre fractionnaire.
Enfin, comme ces considérations complétées par l'application au cube du théorème II (123), conviennent aussi aux nombres fractionnaires, cette rareté de nombres cubes parfaits est ainsi démontrée.
En présence de cette impossibilité ordinaire de l'extraction de la racine cubique exacte de nombres donnés, on a dû chercher des procédés de calcul pour obtenir des racines cubiques approchées.
