Racine cubique à une unité près d'un nombre enlier

— La racine cubique à une unité près d'un nombre entier quelconque est la racine cubique du plus grand cube contenu dans ce nombre.

Si le nombre entier dont on veut extraire la racine cubique à une unité près est plus petit que 1000, celte racine cubique

est inférieure à 10 et elle est donnée par le tableau des cubes

* des neuf premiers nombres entiers.

Mais si le nombre entier est plus grand que 1 000, sa racine eobiqne à une unité près est supérieure à 10; elle est un nombre entier qui comprend des dizaines et des unités. La règle à suivre pour calculer cette racine cubique repose essentiellement sur la connaissance de la composition du cube d'un Bombre formé de dizaines et d'unités. Pour rétablir, on démontre d'abord le théorème suivant :

I. Le cube de la somme de deux nombres se compose de la fùmme des cubes de ces deux nombres augmentée de celle des

. triples produits du carré de chacun de ces nombres par Vautre, On en déduit cette conséquence :

II. Le cube d'un nombre formé de dizaines et d'unités se compose : i» du cube des dizaines ; 2° du triple produit du carré des dizaines par les unités ; 3" du triple produit des dizaines par le oirré des unités ; 4° du cube des unités.

Et Ton complète cette dernière proposition par cette autre :

III. Le nombre de dizaines de la racine cubique à une unité près dun nombre entier quelconque est égal à la racine cubique à une unité près du nombre de mille de ce nombre entier.

Cela posé, considérons d'abord un nombre entier plus grand que 100(ï, mais plus petit que 1000000, le nombre 19 785 par exemple, et proposons-nous d'en extraire la racine cubique à une unité prés. Cette racine, plus grande que iO, mais plus petite que 100 dont le cube est 1 000000, aura deux chiffres, et Ton obtiendra, d'après le théorème Ili précédent, le chiffre des dixaines en extrayant la racine cubique à une unité près du nombre 19, qui résulte de la séparation des trois derniers chiffres de droite du nombre et qui représente les mille de ce môme nombre: le tableau des cubes des neuf premiers nombres entiers donnera le chiffre 2. Pour obtenir celui des unités, on remarquera que si du cube N' d'un nombre N formé de tones et d'unités, on retranche le cube des dizaines, qui est connu, il reste le triple produit du carré des dizaines par les

• unités et deux autres parties ; et comme ce triple produit du

400 AHITHMÉTIQCE THÉORIQUE

carré des dizaines par les unités représente un nombre exacl de centaines, on en conclut qu'il est exclusivement contenu^ dans les centaines de N^ après en avoir retranché le cube des dizaines. Dans notre exemple, le cube des dizaines, 8 mille ou 8000, retranché de 19785 donne le reste 11785 qui contient 117 centaines, lesquelles représentent le triple produit du carrédes dizaines par les unités, plus les centaines qui peuvent provenir du triple produit des dizaines par le carré des unités et du cube des unités ainsi que de Texcès de 19 785 sur le cube de la racine cherchée. 11 en résulte qu'en divisant 117 centaines par le triple du carré des dizaines, 12, le quotient obtenu, 9^ pourra être trop fort, mais il ne sera pas trop faible. Pour • l'essayer, on le mettra à la droite de celui des dizaines, 2, et Ton élèvera au cube le nombre résultant, 29. Si ce cube peut se soustraire de 19 785, le chiffre 9 sera bon ; dans le cas contraire, il faudra le diminuer d'une ou de plusieurs unités jusqu'à ce que Tessai réussisse. C'esl ce qui arrive ici; non seulement le chiffre 9 est trop fort, mais 8 Test aussi ; le chiffro convenable est 7 ; la racine cubique à une unité près du nombre 19785 est dés lors 27, et le reste de l'opération est 102. Si Von trouvait un reste nul. le nombre proposé serait un cube parfait. Prenons maintenant un nombre entier quelconque plus grand que 1 000000, le nombre 34359894 743. Sa racine cubique à une unité près, plus grande que 10, contiendra des dizaines et des unités, et d'après le théorème III (130), le nombre de ces dizaines est égal à la racine cubique du nombre 34359894, qui résulte de la séparation des trois derniers chiffres de droite da • nombre proposé, et qui représente les mille de ce même nombre. On est ainsi amené à extraire la racine cubique à une unité près du nombre 34359894, qui a trois chiffres de moins que le proposé ; mais comme il est plus grand que 1000, sa racine cubique à une unité près est plus grande que 10 et contient des dizaines et des unités. Le nombre de ces dizaines est égal à son tour à la racine cubique à une unité près da nombre 3't3o9, qui résulte de la séparation des trois derniers chiffres de droite du nombre 34359894, et qui représente les

RAClNfiS 101

mille de ce même nombre. De nouveau, on est conduit à Tex^r (raction de la racine cubique à une unité près d'un nombre ^U359qui contient trois chiffres de moins que le précédent. Comme ce nombre est plus grand que 1000, mais plus petit qae lOOOOOO, nous sommes ramenés au premier cas.

La racine cubique 32 du nombre 34359 représente les dizaines de la racine cubique du nombre 34359894 ; on trouve le chiffre des unités S de cette dernière racine par le mémo procédé que pour trouver les unités de la racine cubique de 34339. La racine cubique 325 du nombre 34359894 représente à son tour les dizaines de la racine cubique du nombre proposé 34339894743 ; on calcule le chiffre 1 des unités de cette dernière racine en employant encore le procédé suivi pour calculer les unités des racines cubiques des nombres 34359 et 34359894. On a dès lors obtenu à une unité près la racine cubique 3251 du nombre entier 34 359894743 ; l'opération donne pour reste

lim.

De l'ensemble de ce raisonnement, on tire la rùgle suivante l)our extraire la racine cubique d'un nombre entier quelconque à une unité près.

Pour extraire In racine cubique d'un nombre entier quelconque^ à unp unité près, on partage ce nombre^ à partir de la droite^ en Irnuches de trois chiffres; on extrait à une unité près la racine ^uhi(fup de la première tranche à gauche, qui peut avoir un nombre de chiffres variant de un à trois, et le résultat d(>nne le premier chiffre de la racine. On soustrait de cette première tranche le cube du chiffre obtenu; à la droite du reste, on écrit l^ premier chiffre de la deuxième tranche; on divise le nombre ^mi formé par le triple carré du premier chiffre, et Von a le dmrièitte chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On Vessaie ^n l'écrivant à la droite du premier et en élevant au cube le nombre ainsi obtenu: le résultat doit pouvoir se retrancher de l'ensemble des deux premières tranches à gauche du nombre pro* yotf'. Ce deuxième chiffre de la racine étant trouvé après un ou plu%ieurs essais^ on écrit à, la droite du reste correspondant le pf^i'ier chiffre de la troisième tranche ; on divise le nombre ainsi

formé par le triple carré de la partie déjà trouvée de la racine, et Von a le troisième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On ressaie en l'écrivant à la droite de Vensemhle des deux premiers chiffres de la racine et en élevant au cube le nombre ainsi obtenu : le résultat doit pouvoir se retrancher de Vensemble des trois premières tranches à gauche du nombre proposé. On continue ainsi jusquà ce que toutes les tranches de ce nombre soient épuisées.

L'application de cette règle donne évidemment la racine cubique exacte si le nombre proposé est un cube parfait.

Remarque I. — De ce qui précède il ressort que le nombre des chiffres de la racine cubique à une unité près d'un nombre entier est égal au nombre des tranches de trois chiffres que l'on peut faire dans ce nombre à partir de la droite, la dernière à gauche pouvant n'avoir qu'un ou deux chiffres .

Remarque II. — Au cours des opérations pour extraire une racine cubique, il peut arriver qu'en diminuant de plus d'une unité un chiffre essayé, dans le but d'abréger le nombre des essais, on ait un chiffre trop faible : le fait se reconnaît à l'inspection du reste partiel correspondant, qui doit toujours être inférieur à la somme du triple carré de la racine trouvée, du triple de cette racine et de l'unité, en vertu de ce principe : La ' différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale à la somme du triple carré du jjIus petit nombre^ du triple de ce plus petit nombre et de l'unité.

Cette proposition peut s'énoncer d'une autre manière, car, a et a 4-1 étant deux nombres entiers consécutifs quelconques, elle s'exprime par la relation

(a4-i)3 — a3 = 3a2-f-3a-hl,

qui peut s'écrire (a-f-l)^ — a' = 3a(a -i-l)H- 1, et dont la traduction en langage ordinaire donne : La différence des cubes de deux nombres entiers consécutifs est égale au triple produit de ces deux nombres augmenté de t* uni té.

Remarque lll. — Comme conséquence du théorème II (i30), le cube d'un nombre supérieur à 10 est terminé à droite par le même chiffre des unités que le cube des unités de ce nom-

bre ; mais le tableau des cubes des neuf premiers nombres donnant pour cbifTres des unités les neuf chiffres significatifs, on ne tire pas de cette proposition, comme pour les carrés, de caractère d'après lequel on peut reconnaître qu'un nombre entier est ou n'est pas un cube parfait. Tout ce qu'on peut dire ici c'est que tout nombre entier terminé par un nombre de zéros non divisible par 3 n*est pas un cube parfait, pour la raison que le cube d'un nombre exact de dizaines, de centaines, etc., se termine par 3, 6, . . . zéros.

La preuve d'une extraction de racine cubique à une unité près d'un nombre entier peut se faire par deux procédés différents :

!** En élevant au cube la racine cubique trouvée et en ajoutant au résultat le reste de l'opération d'extraction, s'il y en a un : cette somme doit reproduire le nombre proposé*

2^ En prenant, par rapport à un module quelconque, 9, il ou tout autre, le reste de la racine et celui du reste de Topération: le cube du premier augmenté du second donne par rapport au même module un reste qui doit être égal à c^ui du nombre proposé par rapport à ce même module.

131. Racine cubique à une unité près d*un nombre fractionnaire. — La racine cubique à une unité près d'un nombre fractionnaire est la racine cubique du plus grand cube entier contenu dans ce nombre.

Par un raisonnement analogue à celui que nous avons employé pour la racine carrée d'un nombre fractionnaire, on est conduit à cette proposition : La racine cubique à une unité près d'un nombre fractionnaire est exactement celle de sa partie entière.

La question est ainsi ramenée à la précédente.

P 132. Racine cubique à une fraction -^ près d'un nombre quel-

conque, entier ou fractionnaire. — La racine cubique à une

fraction — près d*un nombre entier ou fractionnaire est le

plus grand multiple de la fraction — dont le cube est au plus

égal à ce nombre.

Un raisonnement analogue à celui qui nous a servi pour la racine carrée conduit à cette règle : Pour obtenir^ à une fraction

— près la racine cubique k — d'un nombre quelconque, entier

ou fractionnaire, il faut multiplier ce nombre par le cube de Vinverse de la fraction d^approximation ^ extraire la racine cubique k à une unité pr(h du résultat et multiplier cette racine par la fraction d^ approximation.

Remarque I. — Si la fraction d'approximation est représentée

par une unité d^un ordre décimal -rTr"» Jl résulte de ce qui

précède que A- est la racine cubique à une unité près de la partie entière du produit du nombre proposé par (iO'»)', et que

la racine cherchée est -— —

Remarque 11. — Dans une extraction de racine cubique à

unft fraction -r— près d'un nombre entier qui n*est pas un

cube parfait, si n est indéterminé, on obtient une suite indéfinie de chiffres décimaux qui se succèdent d'après une loi dépendant de la nature de l'opération, mais il n'y a pas de périodicité pour la même raison que nous avons donnée en traitant de la racine carrée (128, Rem. 11).

§ IV. — Racines de degré quelconque.

133. Définition. — Nous avons vu (122) ce qu'on appelle racine m^ d'un nombre et nous savons que chercher une telle racine c'est former un autre nombre qui élevé à la m« puissance reproduise le premier.

L'opération qui a pour objet la recherche d'une racine de degré quelconque est généralement impossible, comme celle qui a trait à l'extraction d'une racine cubique ou d'une racine carrée, parce qu'un nombre quelconque est rarement une

paissance parfaite. 11 y a plus, le degré d'impossibilité augmente avec l'indice de la racine. Ce double fait peut être mis en évidence par des considérations analogues à celles qui nous o:it servi pour prouver que les nombres entiers carrés ou cubes parfaits sont fort peu nombreux, que leur proportion diminue au furet à mesure que Ton considère une plus grande quantité de nombres entiers, et que cette diminution est plus rapide pour les cubes que pour les carrés. On sait, d'autre part (123), qu'un nombre entier qui n'est pas une puissance m'' parfaite n'est la m* puissance d'aucun nombre fractionnaire. Enfin comme ces considérations, complétées par le théorème Il (lâ3), s'appliquent aussi aux nombres fractionnaires, celte rareté de nombres qui sont des puissances parfaites est ainsi établie. Il s'ensuit que lorsqu'on a besoin de la racine m^ dnn nombre quelconque, entier ou fractionnaire, on a recours a une racine iw* approchée.

Le calcul des racines de degré supérieur au second et au troisième se fait généralement par le moyen des logarithmes, dont l'étude est comprise dans la partie de cet ouvrage consacrée à l'Algèbre.

Mais il nous a paru intéressant de montrer ici que les règles relatives à Textraction des racines carrées et des racines cubiques ne sont que des cas particuliers d'autres règles plus générales.

134. Racine de degré quelconque m à une unité près d'un nombre entier. — Si le nombre entier dont on voudrait directement extraire la racine w/^ à une unité près était plus petit que lO*", cette racine m« serait plus petite que 10 et elle serait donnée par le tableau des puissances m" des neuf premiers nombres.

Mais si le nombre entier était plus grand que 10''', sa racine w* à une unité près serait supérieure à 10 et comprendrait ainsi des dizaines et des unités. La règle à suivre pour calculer celle racine repose essentiellement sur la connaissance de la composition de la m« puissance d'un nombre formé de dizaines et d'unités. On a vu toutefois que les deux premières parties

de la composition du carré et du cube d'un nombre contenant des dizaines et des unités suflisent pour établir les règles d'extraction correspondantes. Le raisonnement qui va suivre montrera qu'il en est de même ici ; c'est ce qui explique la forme de la proposition suivante que Ton démontre tout d'abord.

I. La m^ puissance de la somme de deux nombres a pour premier terme la m^ puissance du premier nombre^ et pour second terme, m fois la {m — iy puissance du premier nombre par le second.

On en déduit cette conséquence :

II. La m' piiissance d^un nombre formé de dizaines et d'unités a pour premier terme la m' puissance des dizaines, et pour second terme, m fois la {m — 1)*^ jmissance des dizaines par les U7n!és.

Et Ton complète cette dernière proposition par cette autre :

III. Le nombre de dizaines de la racine m* à une unité près d\in nombre entier quelconque est égal à la racine m^ à une unité près du nombre des unités de (m -+- 1)« ordre de ce nombre entier.

Cela posé, considérons d'abord un nombre entier plus grand que 10"* mais plus petit que 10*"* et proposons-nous d'en extraire la racine m^ à une unité près. Cette racine, supérieure à iO mais inférieure à 10', contiendra des dizaines et des unités, et le chiffre des dizaines sera donné par la racine m^ à une unité près des unités du (m -+- 1)« ordre du nombre proposé. Et comme ces unités du (m 4-1)* ordre forment un nombre inférieur à 10"S cette racine sera fournie par le tableau des m«' puissances des neuf premiers nombres. Pour obtenir le chiffre des unités, on remarquera que si de la m'^ puissance, N"*, d'un nombre formé de dizaines et d'unités on retranche la m^ puissance des dizaines il reste (Th. 11) le wi« produit de la (m — 1)^ puissance des dizaines par les unités et la suite de tous les autres termes du développement. Or, comme ce m^ produit de la (m — 1)* puissance des dizaines par les unités représente un nombre exact d'unités du m« ordre, on en conclut qu'il est exclusivement contenu dans la partie du reste composée de ces unités du m^ ordre, et pour obtenir les unités

simples du nombre N qui sont un des facteurs du second (erme de N*", Vautre facteur étant m fois la (m — i)« puissance des dizaines, on forme donc dans le reste, en en séparant à droite les m — 1 premiers chiffres, la partie composée des unités du m* ordre, que Ton divise par m fois la (m — !)• puissance des dizaines. Le quotient, qui ne peut être trop faible, pourrait être trop fort, car cette partie' envisagée du reste peut contenir des unités de m* ordre provenant des autres termes du développement de la m^ puissance du nombre N. Pour essayer ce quotient, on l'écrira à droite du chiffre déjà trouvé des dizaines et Ton élèvera à la m" puissance le nombre ainsi formé. Si le résultat peut se retrancher du nombre proposé, le chiffre des unités sera bon ; dans le cas contraire, il faudra te diminuer successivement d'une, de deux, de trois,... unités, jusqu'à ce que la soustraction soit possible : le premier chiffre par ordre descendant qui répondra à cette condition représentera les unités cherchées.

Prenons maintenant un nombre entier quelconque plus grand que 10"». Sa racine m* à une unité près, supérieure à 10, contiendra des dizaines et des unités et le chiffre des dizaines sera donné par la racine m^ à une unité près des unités du (wn-1)* ordre du nombre proposé. Si ce nombre d'unités du (m -i- i)* ordre est plus grand que 10*", mais plus petit que 10^, on se trouve en présence du cas précédent. La racine obtenue contient deux chiffres qui représentent les dizaines de la racine m^ du nombre proposé. Pour avoir le chiffre des unités, on procède comme dans le premier exemple. On conçoit qu'en reprenant ce raisonnement pour des nombres dont la racine m<^ aurait 4, 5, 6, ... chiffres, on ramènerait le cas de 4 chiffres à celui de 3, celui de 5 à celui de 4, et ainsi de suite. On a dès lors la règle générale suivante :

Pour extraire la racine m^ d'un nombre entier quelconque à une unité près^ on partage ce nombre^ à partir de la droite^ en tranches de ni chiffres ; on extrait à une unité prf}s la racine m« de la première tranche à gauche^ qui peut avoir un nombre de chiffres variant rfe 1 A m, et le résultat donne le premîpr chiffre

}08 ' ARITHMÉTIQL'C THÉORIQUE

de la racine. On soustrait de cette première tranche la m* puisaance du chiffre obtenu ; à la droite du reste, on écrit le premier rhiffre de, la deuxième tranche ; on divise le nombre ainsi formé par m fois la {m — 1)* puissance du premier chiffre et Von a le deuxième chiffre de la racine ou un chiffre trop fort. On Vessaié* en récrivant à la droite du premier et en élevant à la m* puissance Ir nombre ainsi obtenu; le résultat doit pouvoir se retranf'her de Vensemble des deux premières tranches à gauche du nombre proposé. Ce deuxième chiffre de la racine étant trouvr •après un ou plusieurs essais^ on écrit à la droite du reste correspondant le premier chiffre de la troisième tranche ; on divise le nombre ainsi formé par m fois la {m — 1)*^ puissance de la partie déjà trouvée de la racine ^ et Von a le troisième chiffre de In racine ou un chiffre trop fort. On Vessaie en Vécrivant à la droite de Vensemble des deux premiers chiffres de la racine et en élevant à la m*^ puissance le nombre ainsi obtenu; le résultat doit pouvoir se retrancher de Vensemble des trois premières tranches à <jauche du nombre proposé. On continue ainsi jusqu^à ce que ioutes les tranches de ce nombre soient épuisées.

L'application de cette règle donne évidemment la racine m* exacte si le nombre proposé est une puissance m' parfaite.

Remarque I. — Il ressort de ce qui précède que le nombre des chiffres de la racine m* à une unité près d*un nombre entier quelconque est égal au nombre de tranches de m chiffres que Ton peut faire dans ce nombre à partir de la droite, la dernière à gauche pouvant avoir un nombre de chiffres variant de 1 à m.

IIemarque II. — La m* puissance d'un nombre entier ne peut être terminée par des zéros que si le nombre lui-môme se termine par un ou plusieurs zéros ; mais la r/i* puissance d'un nombre exact de dizaines, de centaines, de mille, etc., est toujours terminée par un nombre de zéros divisible par m ; il s'ensuit que tout nombre terminé par des zéros en quantité non divisible par m n'est pas une m^ puissance parfaite.