Racine vi*^ à une fracllon -^ près d'an nombre quel

conque, entier ou fractionnaire. — La racine m^ à une fraction

— près d'un nombre entier ou fractionnaire est le plus grand

mniiiple de la fraction — dont la m*' puissance est au pluségale à ce nombre.

Ici encore, en raisonnant comme on Ta fait dans les deux

cas particuliers précédents, on est conduit à cette règle :

Pour obtenir à une fractitm — près la racine w% A — ^ d'un

nombre quelconque, entier ou fractionnaire, il faut multiplier ce nombre par la m^ puissance de l'inverse de la fraction d'approximation, extraire la racine in^, A% à une unité près du résultat ^ W multiplier cette racine par la fraction d'approximation , Kemarque I. — Si la fraction d'approximation est représentée

par une unité d'un ordre décimal — --, il résulte de ce qui.

précède que k est la racine m^ à une unilé près de la partie entière du produit du nombre proposé par (10'»)"» et que la

racine cherchée est

Remarque II. — Dans une extraction de racine w à une

fraction -r^ près d'un nombre entier qui n'est pas une puissance m'' parfaite, si n est indéterminé on obtient une suite indéfinie de chiffres décimaux qui se succèdent d'après une loi dépendant de la nature de l'opération ; mais il n'y a pas de périodicité pour la même raison que nous avons donnée en traitant de la racine carrée et de la racine cubique.

137. Racine dont rindlce m est un produit de plusieurs lactenrs. — I. Soit à extraire la racine 18* d'un nombre N que

410 ARlTIIMÉTiQLE THÉORIQUE

nous supposerons être une puissance 18^ parfaite et désignons par k cette racine. Nous aurons

(1) A'*« ou A-«X3X3 ^ ]v.

Or, d'après le théorème 111 (65), k^x^>^^ peut être considéré comme le cube de /:*X' et ce dernier nombre comme le cube de A**, de sorte que Ton peut écrire

ytSX3X3 = [[k^]^ = N.

Si Ton extrait la racine cubique des deux membres de celte égalité, on a

en extrayant la racine cubique des deux membres de cette nouvelle égalité, il vient

A2 = \JW ;

et enfin, en extrayant la racine carrée des deux membres de cette dernière égalité, on obtient

(2) a- = v/(/vn-.

Ce raisonnement d'ordre général conduit à la règle :

Pour extraire une racine dont V indice est un produit de facteurs^ on extrait successivement des racines d'indices respectivement égaux à ces facteurs.

Remarquons que dans l'égalité (i) nous aurions pu écrire les facteurs de Texposant dans un tout autre ordre, et le raisonnement qui a été suivi nous aurait donné dans l'égalité finale (2) une superposition différente des radicaux ; il en résulte que la racine k est indépendante de Tordre d'extraction des racines dont les indices sont les facteurs de l'indice initial.

II. Soit maintenant N' un nombre qui n'est pas une puissance m* parfaite ; sa racine m^ à une unité près s'obtiendra en extrayant successivement à une unité près des racines d'indices respectivement égaux aux facteurs de m.

Admettons que Ton ait m ^ ay<b:><c et représentons par g la racine a^ à une unité près de N\ par h la racine ù^ à une unité près de g et par k la racine c« à une unité près

de A ; il s*agit de prouver que k est la racine m« à une unité près de N'.

D'après les conventions précédentes, on aura les inégalités

{ k^ < h<{k-\-lY.

Considérons d'abord la première relation de chacun de ces trois groupes d'inégalités et élevons les deux membres de celle dn second k la puissance a, et celle du troisième à la puissance ab ; on aura

k^^ < h'^K En additionnant membre à membre et simplifiant, il vient

Si nous considérons ensuite la seconde relation de chacun des trois groupes d'inégalités (1), en remarquant que les deux membres de chacune d'elles diffèrent entre eux au moins d'une unité, on peut écrire les suivantes :

h-hi<{k-ti)c, qui donnent^ par l'élévation des deux membres de la seconde à la puissance a et des deux membres de la troisième à la puissance aby

On tire de là, en additionnant membre à membre et simpli- Gaot,

(3) N'<()fc-hi)«^.

Le rapprochement des relations (2) et (3) donne finalement

ju,bc ^ K <{k-hlY^, ou k^ < N'< {k-hiY",

ce qui signifie que k est la racine m^ de N' à une unité près.