NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS

§ I. — Considérations générales.

138. Modes de génération. — La mesure des grandeurs^ dans les deux premiers cas sur trois qu'elle présente (94), nous a fourni un mode commun de génération des nombres entiers et des nombres fractionnaires. Le troisième cas, celui où la grandeur à mesurer ne contient exactement aucune des parties aliquotes de Tunité, a dû être réservé. Nous allons le reprendre

Disons d'abord qu'il existe des grandeurs dans lesquelles ne sont contenues un nombre exact de fois ni Tunité, ni une fraction de Tunité quelque petite qu'elle puisse être. En géométrie on démontre, en effet, que la diagonale du carré n'a pas de commune mesure avec le côté de ce môme carré, qu'il en est de même pour la circonférence du cercle et son rayon, etc.

Deux grandeurs qui sont dans un tel état de rapport Tune vis-à-vis de l'autre sont dites incommensurables, et il n'y a pas de nombre, entier ou fractionnaire, pour exprimer la mesure de l'une en prenant l'autre pour unité.

Mais alors si l'on considère une grandeur quelconque, une longueur par exemple, et qu'on la fasse varier d'une manière continue, elle passe par une suite indéHnie de valeurs alternativement mesurables et non mesurables, les unes pouvant s'exprimer en nombres, les autres non. Dans un intérêt scientifique, en particulier pour les besoins de la généralisation, on a dû chercher à faire disparaître ces exceptions en donnant à l'idée de nombre une nouvelle extension et en appelant