OMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS

nombre incommensurable la manière d'être, dans la comparaison de lenrs valeurs, de deux grandeurs incommensurables eutre elles.

El voici ridée qu'on peut se faire de ces nombres incommensurables.

Soit A une grandeur incommensurable avec l'unité. Supposons qu'elle contienne 4 fois l'unité plus un reste, que ce reste

contienne 5 fois le -rzr de l'unité plus un reste, que ce second

reste contienne 2 fois le -— de l'unité plus un reste, que ce

troisième reste contienne 7 fois le de l'unité plus un

reste, etc., on aura, pour apprécier la mesure de cette grandeur,

les deux séries suivantes de nombres :

qui donnent de cette mesure, la première, des valeurs appro-

chées par défaut, successivement à une unité près, à — - près,

* îj7i près, à 77^7^ près, etc. ; la seconde, des valeurs approtuu 1 uuu

chées par excès, successivement à une unité près, à — - près,

^ ïôft P^^*' ^ JTinn P^^^^ ®^^- ^^ première comprend des

nombres qui croissent indéfiniment, tout en restant tous inférieurs k une certaine limite ; ces nombres sont les mesures respectives de grandeurs de même espèce que A, également croissantes, mais toutes plus petites que A. La seconde comprend des nombres qui décroissent indéfiniment, tout en restant tous supérieurs à une certaine limite ; ces nombres sont les mesures respectives de grandeurs de môme espèce que A, également décroissantes, mais toutes plus grandes que A. Or, si l'on compare, dans ces deux séries, deux termes de même rang et qu'on envisage en môme temps les deux grandeurs correspondantes, on remarque que la différence de

DACIAT. — MéTHODOL. 8

ces termes, comme celle des grandeurs qu'ils mesurent, est

d'abord d'une unité et qu'elle va sans cesse en diminuant, en

passant par les valeurs successives de — t — - , tt^. » • • •

d'unité ; on conçoit dès lors qu'on puisse obtenir deux termes de même rang assez éloigné pour que leur différence, qui ne peut être nulle, devienne cependant inférieure à toute quantité assignable quelque petite qu'elle soit. On peut donc dire que les deux séries de nombres tendent vers une même limite sans pouvoir Tatleindre, en même temps que les deux séries de grandeurs qu'ils mesurent se rapprochent aussi indéfiniment, sans non plus l'atteindre, de la grandeur incommensurable A. Plus généralement, soit encore cette même grandeur A, incommensurable avec T uni té. Divisons celte unité en n, n\ n\ if^ ... parties égales de plus en plus petites ; désignons par a, a', a\ a'", ... les valeurs respectives de ces parties et par 7/1, m\ m\ m'", ... les nombres de ces parties respectivement contenues dans A. On aura pour apprécier la mesure de A les deux séries suivantes de nombres :

m -h 1 m' -hi m" -+- 1 m"' -h i

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qui mesurent, ceux de la première série, une suite de grandeurs commensurables avec Tunilé am, a'm\ a''m'', a"'m'", . . ., toutes plus petites que A, et ceux de la seconde, une autre suite de grandeurs également commensurables avec l'unité a(in + 1), //'(m' -h 1), «['(m'-h 1), «'''(yn^'-h i), . . ., toutes plus grandes que A. Si Ton admet ensuite, ce qui est toujours possible, que les nombres n', n\ n'\ ... aient été choisis de manière que les parties correspondantes a', a% n'\ ... soient respectivement plus petites que les excès de A sur a m, a!vi\ a''m\ ... ; comme on a, d'autre part, par hypothèse, les inégalités

qui donnent >>>, ...,

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