NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS HS

iî en résultera : i*» que les termes de la série (1:), qui sont

saccessivement à — » — ;-> — j-5 —=-1 ... près, les valeurs

approchées par défaut de la mesure de À, vont sans cesse en croissant, comme les grandeurs commensurables qu'ils mesutenl, tout en demeurant inférieurs à une certaine limite, en même temps que ces grandeurs croissantes restent moindres que A ; 2" que les termes de la série (2), qui sont successivement

à — » — ^f -y» — ^ » ... près, les valeurs approchées par

eicès de la même mesure de A, vont dans leur ensemble en décroissant, comme les grandeurs commensurables qu'ils mesurent, tout en demeurant supérieurs à une certaine limite en même teoips que ces grandeurs décroissantes restent plus grandes que A .

Or il est à remarquer que la différence de deux termes de même rang dans les deux séries de nombres (i) et (2), qui se

traduit successivement par les fractions — > — r» -y — — , ...,

n n n nr

Ta sans cesse en diminuant; dès lors on conçoit que Ton puisse obtenir deux termes d'un même rang assez éloigné pour que cette difTérence devienne inférieure à toute quantité assignable quelque petite qu'elle soit; il suffit pour cela de donnera n Qoé valeur suffisamment grande.

On arrive ainsi à la conclusion précédente, que ces deux séries de nombres tendent vers une même limite sans pouvoir Talteindre, en même temps que les grandeurs qu'ils mesurent se rapprochent aussi indéfiniment, sans non plus l'atteindre, de la grandeur incommensurable A.

C'est à cette limite commune de deux séries de nombres, dont la valeur ne peut être exprimée en chiffres et qui est prise comme mesure de la grandeur incommensurable A, qu'on demie le nom de nombre incommensurable ou mieux de nombre 'irrationnel. Par opposition, les nombres entiers et les nombres {ractionnaires sont appelés nombres commensurables ou rationnels.

139. La théorie des racines peut conduire comme celle de la mesure des grandeurs aux nombres incommensurables ou irrationnels.

Nous avons vu qu'un nombre entier ou fractionnaire irréductible, qui n'est pas un carré, un cube, une puissance m^ parfaite, n'est le carré, le cube, la ?n* puissance d'aucun nombre entier ou fractionnaire. Il s'ensuit qu'il existerait des nombres ayant des racines exprimables en nombres et d'autres beaucoup plus nombreux qui n'en auraient pas. Mais si, considérant un nombre N qui n'est pas un carré parfait, par

exemple, on cherche de sa racine carrée deux valeurs appro-

chées, l'une par défaut et l'autre par excès, à — près, qu'en-

suite on fasse croître n indéfiniment, on a comme précédemment deux séries de nombres présentant les formes suivantes:

m-hl

m'-hi

yf

Les termes de la première vont successivement en croissant, ou tout au moins chacun d'eux est au moins égal à celui qui le précède ; les termes de la seconde vont successivement en décroissant, ou tout au moins chacun d'eux est au plus égal à celui qui le précède ; de plus, la différence de deux termes de

même rang dans les deux séries, successivement égale à

— 1 —ri -F' -77» ••• devient de plus en plus petite au fur n n n n

et à mesure que n devient de plus en plus grand, et tend vers zéro si n augmente indéfiniment. Les deux séries de nombres convergent donc vers une môme limite en même temps que les deux séries des carrés de ces nombres tendent aussi vers une limite commune; et comme deux termes de même rang de ces deux dernières séries comprennent sans cesse le nombre N, ce nombre est la limite commune de ces deux séries ; pour cette raison, la limite commune des deux premières est appelée la racim carrée de N.