NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS

Cette racine est exprimée par un nombre incommensurable on irrationnel dont le symbole est J~K» Il en est de même de toutes les racines de nombres qui ne sont pas des puissances parfaites; ce sont des nombres irrationnels figurés par un symbole de la forme générale V N": c'est ce qu'on appelle un radical du m^ degré ou d'indice m.

Ce mode de génération des nombres irrationnels par des extractions de racines peut rentrer dans le précédent, car toute série de nombres rationnels croissants ou décroissants, ayant un nombre irrationnel pour limite, peut être considérée ■ comme contenant les mesures respectives d'une suite de grandeurs commensurables, indéfiniment croissantes ou décroissantes et convergeant vers une limite déterminée.

D'où il suit que la mesure des grandeurs est une origine commune à tous les nombres rationnels ou irrationnels .

140. On définit encore le nombre irrationnel en le considérant comme intermédiaire entre deux classes infinies de

nombres rationnels. Cette définition, M. Tannery la donne ainsi : < Toutes les fois qu'on a un moyen défini de séparer la totalité des nombres rationnels en deux classes telles que tout nombre de la première classe soit plus petit que tout nombre * de la seconde classe, telles en outre qu'il n'y ait pas dans la première classe un nombre plus grand que les autres nombres de la même classe, et, dans la seconde classe, un nombre plus petit que les autres nombres de la même classe^ on convient de dire qu'on a défini un nombre irrationnel » (*).

Ul. Mode général de représentation. — Notre première définition, à laquelle nous revenons, porte que le nombre irratioimel est la limite commune de deux séries de nombres rationnels et convergents, croissants dans l'une et décroissants dans l'autre ; mais il est évident qu'en raison de cette communauté de limite entre ces deux séries, l'une d'elles snffit pour représenter un nombre irrationnel ; c'est pour cela qu'on dit que tout nombre irrationnel peut être représenté par

l'i Inlroduetiott à la théorie des fonctions d'une variable.

lt8 ARITHMÉTIQUE THÉORIQUE

une série rationnelle et convergente de nombres qui mesurent des grandeurs commensurables et convergentes ayant pour limite une grandeur incommensurable dont le nombre irrationnel envisagé est la mesure.

Les nombres rationnels peuvent être aussi représenlés de cette manière, et comme exemple la série rationnelle et convergente 6, 6,9, 6,99, 6,999, ... définit et représente le nombre 7.

142. Nombres égaux. — Tous les nombres rationnels ou irrationnels pouvant être considérés comme des mesures de grandeurs commensurables ou incommensurables, on dit, d'une manière générale, que deux nombres d'espèce quelconque sont égaux lorsqu'ils mesurent deux grandeurs égales de même nature. Dans le cas contraire, ils sont dits inégaux.

Remarque I. — L'introduction des nombres irrationnels en arithmétique fait de l'ensemble de tous les nombres une suite continue, ininterrompue, qui va de zéro Jusqu'à Tinlini. Elle donne ainsi une certaine généralité à Tarithmétique.

Remarque 11. — La théorie des fractions décimales périodiques nous a fourni un premier exemple de limites de quanlités variables ; celle des racines nous en donne un second, avec cette différence que dans le premier cas la suite indéfinie est périodique et a pour limite un nombre rationnel, tandis que dans le second la suite indéfinie n'est pas périodique et a pour limite un nombre irrationnel.

§ II. — Opérations et principes sur les nombres

irrationnels.

143. Guidé par les considérations précédentes, nous donnerons des opérations sur les nombres irrationnels les définitions suivantes, qui conviendront également aux opérations sur les nombres rationnels et qui auront ainsi le caractère de généralité qu'elles doivent revêtir,

144. Addition et soastrnctlun. — Additionner ou soustraire des nombres irrationnels, c'est trouver le nombre qui mesure

NOMBRES INCOMMENStJKARLES OU IRRATIONNELS 119

la grandeur obtenue en ajoutant ou en retranchant les grandeurs de même espèce que mesurent les nombres proposés ; autrement dit, c'est trouver la limite d'une série rationnelle et convergente de nombres qui sont les sommes ou les différences respectives des termes de même rang des séries rationnelles et convergentes de nombres qui définissent les nombres irrationnels proposés.

On peut encore dire, pour la soustraction, que c'est Topéralion inverse de l'addition, celle-ci étant comprise comme nous Tenons de la définir.

145. Multiplication. — Multiplier deux nombres irrationnels l'un par l'autre, c'est trouver la limite d'une série rationnelle et convergente de nombres qui sont les produits respectifs des termes de môme rang des deux séries rationnelles et convergentes d'autres nombres qui définissent les deux nombres irrationnels proposés.

Si l'un des facteurs de la multiplication est rationnel, la série dont on cherche la limite se compose des termes de celle qui définit le facteur irrationnel respectivement multipliés par le facteur rationnel.

146. Division. — La division étant l'opération inverse de la multiplication, diviser l'un par l'autre deux nombres irrationnels ou non l'un et l'autre, c'est trouver le nombre qui multiplié par le diviseur reproduit le dividende, sous la résem qu'on attache à l'idée de multiplication le sens que nous venons.de lui donner.

Il résulte de cet ensemble de définitions que les opérations sur les nombres irrationnels ne peuvent se faire que sur des nombres rationnels qui diffèrent d'aussi peu que possible des premiers, et le résultat obtenu dans chaque cas, variable avec les nombres rationnels employés, converge au fur et à mesure que ces nombres se rapprochent de leurs limites respectives, ^ers une certaine limite qui serait le résultat exact final de l'opération.