Propriétés des nombres Irrationnels . — Cette dernière

120 ARITHMÉTIQUE THÉOBIQUE

considération a pour conséquence très importante que lespropriétés essentielles des opérations fondamentales sur les nombres rationnels, que les principes généraux relatifs à ces nombres, et que les règles de calcul qui en découlent s'appliquent aux nombres irrationnels, parce que la démonstration en est faite pour des nombres rationnels quelconques, par conséquent pour ceux qui sont approchés, à quelque degré que ce soit, des nombres irrationnels à considérer.

C'est ainsi que pour les nombres irrationnels comme pour les nombres rationnels : 1^ l'addition est commutative et associative ; la multiplication est commutative, associative et distributive par rapport à Taddition, etc. ; 2* les théorèmes relatifs aux quatre opérations fondamentales (43, 49, 58 II à X,. 63 II à VII), aux nombres fractionnaires (96), aux puissances (65) et aux racines (123), aux égalités et inégalités (68, 69, 123),. sont les mêmes et par conséquent d'ordre général.

^ in. — Calcul des radicaux.

148. Sous ce titre nous allons compléter, pour les nombres irrationnels qui se présentent sous la forme de radicaux, la théorie des opérations commencée dans le paragraphe pré~ cèdent.

Le calcul arithmétique des radicaux repose sur les théorèmes suivants :

I. Le produit de plusieurs radicaux de mêwe indice est u)i autre radical de même indice portant sur le produit des nombres soumis aux radicaux considérés.

II. Le quotient de deux radicaux de même indice est un autre radical de même indice portant sur le quotient des deux nombres: soumis aux radicaux considéras.

III. Pour élever un radical à une puissance quelconque, ii suffit dV'lever à cette puissance le nombre soumis à ce radical.

IV. Pour extraire une racine quelconque d'un radicalyil suffit de viultiplior l'indice du radical par celui de la racine à extraire.

NOMBRES INCOMMENSURABLES OU IRRATIONNELS 12t

V. Un radical ne change pas de valeur lorsqu'on multiplie ou divise par un même nombre entier Vindice de la racine et Vexpornnt du nombre soumis à ce radical.

Ce dernier théorème a pour conséquences deux applications importantes :

1<» la simplification des radicaux^ qui s'effectue en divisant par un même nombre — ou mieux par leur plus grand commun diviseur — l'indice et la puissance du nombre soumis à chaque radical ;

2* la réduction au mnne indice de radicaux dHndices différents ^ dont la régie consiste à former un commun multiple — ou mieux le plus petit commun multiple — des indices des radicaux donnés, pour diviser ensuite ce commun multiple par chacun des indices et multiplier enfin par chaque quotient, dans le radical correspondant, l'indice et la puissance du nombre placé sous ce radical.

Il est à remarquer qu'on opère, dans les deux circonstances^ sur les indices et les puissances des nombres soumis aux radicaux comme sur les dénominateurs et les numérateurs des nombres fractionnaires qu'on veut réduire à leur plus simple expression ou réduire au plus petit commun dénominateur.

La seconde de ces transformations des radicaux permet d'obtenir le produit ou le quotient de radicaux d'indices différents ; pour cela, on réduit ces radicaux au même indice et I*on fait ensuite application des théorèmes I ou II qui précèdent.