CHAPITRE IX

§ I. — Rapports.

149. Définitions. — On appelle rapport de deux grandeurs de même espèce le nombre qui mesure la première de ces grandeurs lorsqu'on prend la seconde pour unité.

Pour obtenir ce rapport il n*est pas indispensable de prendre la seconde grandeur pour unité; le théorème suivant nous donne un moyen pratiquée d'arriver à ce résultat :

I^ rapport de deux grandeurs de même espère est le quotient des detix nombres qui mesurent ces grandeurs lorsquon prend pour Vune et Vautre une même unité quelconque.

Soient, en effet, deux grandeurs de même espèce, A et B, que Ton veut mesurer avec une troisième, C, qui est de l'espèce des deux premières.

1° Supposons d'abord que A et B contiennent l'une et l'autre un nombre exact de fois G; leurs mesures seront exprimées par des nombres entiers a et 6, et Ton aura

mesure de A ou ■— = «,

mesure de B ou — - = ^>,

d'où: mesure de A par rapport à B ou -—- = ---:—- = -—.

B Cl u 0

2^ Si A et B ne contiennent exactement qu'une fraction —

P de C, leurs mesures sont exprimées par des nombres iVaction-

naires de la forme — et — : mais en représentant encore

par a et 6 ces deux nombres, un raisonnement analogue au

précédent donnera aussi

A (i mesure de A par rapport à B ou --- = —.

3^ Enfin, si A et B sont Tune et l'autre incommensurables avec C, leurs mesures seront exprimées par des nombres irrationnels que nous désignerons encore par a et b ; et en prenant une partie aliquote quelconque de C qui s'y trouve contenue q fois et que A et B contiennent respectivement au plus m et n fois, on aura

n B nn-l

m Cela posé, considérons, d'une part, le rapport r du

nombre — plus petit que — ^"^ nombre plus grand

B, ^ i, .'"-*-lj . m-hl

que —-» d autre part, le rapport du nombre

plus grand que — au nombre — plus petit que -p-Me premier

est plus petit et le second plus grand que 7? • 77 ou -— ; on

peut donc écrire

n-hi "b n

Mais comme par hypothèse les nombres irrationnels a et 6

sont les mesures respectives de A et de B, C étant Tunité

de mesure, on aura aussi

wi m -\-\

m a ^ m-t- 1 et <- <;

Les rapports p- et — sont donc compris entre les mêmes

nombres approchés, l'un, r» par défaut, et Tautre, »

par excès. Or ces deux nombres se rapprochent sans cesse l'un de l'autre et tendent vers une limite commune, au fur et à mesure que n croit indéHniment. En effet, la différence de

ces nombres, -, est égale a — ( 1 h r ),

et comme 7 est plus petit que -r » on peut écrire

Le second membre de cette inégalité est le produit de deux

facteurs dont l'un, ( 1 -*- x ) ' ^®^^^ constant, et dont l'autre,

— 1 devient de plus en plus petit et tend vers zéro à mesure

que q diminue et tend aussi vers zéro ; il s'ensuit que ce pro-

duit diminue lui-même avec — et tend avec lui vers zéro. •

A fi

Les deux rapports -^ et— > constamment compris entre les

deux séries de valeurs de plus en plus approchées que prennent et avec les accroissements incessants

de n, sont l'un et l'autre la limite commune de ces deux séries et sont nécessairement égaux.

On a donc encore

mesure de A par rapport à B ou -—-=---.

D'après ce qui précède, on appellera rapport de deux nombres le quotient du premier de ces nombres par le second. Et ce rapport s'exprimera par un nombre entier, un nombre fractionnaire ou un nombre irrationnel, suivant que les deux nombres sont rationnels et divisibles ou non le premier par le second, ou sont, l'un au moins, irrationnels.

Le premier terme du rapport de deux nombres se nomme dividende^ numérateur ou antécédent^ et le second, diviseur^ dénominateur ou conséquent.

On appelle rapport inverse de deux grandeurs de même espèce ou de deux nombres, le rapport de la seconde grandeur à la première ou du second nombre au premier.

Si l'on multiplie le rapport direct — de deux grandeurs ou de

deux nombres par leur l'apport inverse — ■. le produit -r-X — ni égal à Vunité.

150. Calcul des rapports. — Si Vidée de rapport rappelle la comparaison de deux grandeurs et si le raisonnement mathématique peut s'appliquer aussi bien aux rapports de grandeurs qu'aux rapports de nombres, il est indispensable dans le calcul de n'avoir comme termes de rapports que les nombres qui mesurent les grandeurs considérées.

Ainsi ramenés à des quotients de deux nombres rationnels oa irrationnels, les rapports, quand ils ne sont pas exprimés par des nombres entiers, sont de véritables nombres fractionnaires soumis par conséquent aux mêmes principes et aux mêmes règles de calcul que les nombres fractionnaires considérés avec toute l'extension de sens que comporte cette expression. En d'autres termes, pour résumer :

1® Un rapport ne change pas de valeur lorsqu^on en multiplie ou divise les deux termes par un même nombre ;

^ On opère comme sur des nombres fractionnaires pour simpUfier des rapports j les réduire à leur plus simple expression, les réduire au même dénominateur ou conséquent^ les additionner y le* soustraire, les multiplier^ les diviser^ les élever aux puisianceset en extraire des racines,

151. Propriétés des rapports égaux. — Les propriétés essentielles des rapports égaux peuvent se formuler ainsi :

Etant donnée une suite de rapports égaux, on obtient un nouveau rapport égal à chacun des précédents :

i* En prenant pour numérateur la somme des numérateurs des rapports proposés etpour dénominateur la somme de leurs dénomnateurs ;

^ En prenant pour numérateur la somme des numérateurs de

certains rapports proposés, diminuée de celle des numérateurs des autres, et pour dénominateur la somme des dénominateurs des premiers rapports envisagés, diminuée de celle des dénominateurs des autres ;

3* En multipliant les deux teignes de chaque rapport par un nombre quelconque, variable d'un rapport à l'autre, et en prenant ensuite pour numérateur la somme des numérateurs des nouveaux rapports et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs ;

4® En élevant tous les rapports à une même puissance m et en prenant ensuite pour numérateur la racine m* de la somme des numérateurs des nouveaux rapports et pour dénominateur la même racine m^ de la somme de leurs dénominateurs, etc,

152. Propriété des rapports inégaux. — Nous terminerons ce paragraphe par le théorème important qui suit sur les rapports inégaux:

Etant donnée une suite de rapports inégaux^ en prenant pour numérateur la somme de leurs numérateurs et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs, on forme un nouveau rapport qui est compris entre le plus grand et le plus petit des rapports proposés.

^ II. — Proportions.

153. Définitions. — Une proportion est l'expression de Tégalité de deux rapports.

Les quatre nombres qui entrent dans une proportion sont les quatre termes de cette proportion. On donne le nom d'extrêmes au premier et au quatrième et celui de moyens au second et au troisième.

154. Propriété fondamentale. — La propriété essentielle et fondamentale des proportions est la suivante :

Dans toute proportion le produit drs extrêmes est égal à celui des rnogens ; et réciproquement, quatre nombres sont en proportion si le produit de deux d'entre eux est égal au produit des deux autres.

Il faut sous-entendre^ dans la proposition réciproque, que les deux groupes de deux nombres dont le produit est le même doivent occuper dans la proportion, Tud quelconque la place des moyens, et Tautre celle des extrêmes.

La première partie de cette propriété se démontre en réduisant les deux rapports au même dénominateur et en tirant, de l'égalité de ces rapports, d'une part, et des nouveaux dénominateurs, de Tautre, Tégalitédes nouveaux numérateurs.

Pour démontrer la seconde, on divise les deux membres de Tégalité des deux produits de deux facteurs par le produit de deux quelconques de ces quatre nombres, pourvu qu'ils soient pris, l'un dans un produit et le second dans l'autre, puis on supprime dans chaque rapport résultant, si on ne Ta fait en divisant, le nombre commun au numérateur et au dénominateur.

La seconde partie de cette propriété fondamentale permet décrire une proportion de huit manières différentes. Quatre s*obtiennent en prenant la proportion initiale, en y changeant les moyens de place, en y changeant les extrêmes de place, et en y changeant les moyens de place en même temps que les extrêmes ; les quatre autres résultent de ces mêmes transformations opérées sur une proportion dont les deux rapports sont ceux de la proposée, mais écrits dans Tordre inverse, le premier devenant le second, et le second, le premier.

1S5. QuatHéme proportionnelle. — On appelle quatrième proportionnelle à trois nombres un quatrième nombre qui forme avec les trois autres une proportion. Mais comme ce quatrième nombre peut occuper dans une proportion quatre places différentes, pour le définir complètement il faut que cette place soit donnée.

De la propriété principale des proportions, on tire la règle suivante pour trouver une quatrième proportionnelle à trois nombres donnés :

Apnh avoir mis en j^roportion les trois nombres donnés et celui qu'on se propose de déterminer^ celui-ci étant représenté pnr une lettre, x par exemple^ on fait le produit des extrêmes ou des

moyens, suivant que ce sont les premiers ou les seconds qui sont Vun et Vautre connus, et Von divise le résultat par le troisième nombre donné.

156. Moyenne proportionnelle. — On appelle moyenne proportionnelle entre deux nombres un troisième nombre qui occupe la place des deux moyens ou des deux extrêmes dans une proportion où entrent les deux premiers.

Pour trouver la moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés, on a la règle suivante qui se déduit de la pro-* priété fondamentale des proportions :

On extrait la racine carrée du produit des deux nombres donnés.

Il ne faut pas confondre la moyenne proportionnelle entre deux nombres avec la moyenne arithmétique de ces deux jiombres : celle-ci est égale à la demi-somme des deux nombres, et Ton démontre qu'elle est toujours plus grande que Vautre, à moins que les deux nombres ne soient égaux, auquel <ïas les deux moyennes sont aussi égales.

157. Troisième proportionnelle. — On appelle troisième proportionnelle à deux nombres un troisième nombre qui forme avec les deux autres une proportion dans laquelle Tun de ces derniers occupe la place de chacun des moyens ou de chacun -des extrêmes.

La propriété principale des proportions sert encore de base à la règle qui suit pour trouver la troisième proportionnelle à <leux nombres donnés :

On divise le carré du nombre répété dans la proportion par le second nombre donné.

158. Autres propriétés des pi*oportlon8. — Voici quelques autres propriétés importantes des proportions, auxquelles on a -souvent recours dans le calcul.

Dans toute proportion :

1° la somme des deux premiers tenues est avec le second dans le même rapport que la somme des dnir derniers est avec le qua- Irirme ;

2* la différence des deux premiers termes est a ver le second dans le même rapport que la différence des deux derniers est avec le quairiême ;

3' la somme des deux premiers termes est avec leur différence dans le même rapport que la somme des deux derniers est avec leur différence.

§ III. — Grandeurs proportioDualles.

159. Définitions. — Deux grandeurs sonl dites directement fropariionnelles lorsque, dépendant Tune de Tautre, le rapport de deux valeurs quelconques de Tune est égal au rapport des valeurs correspondantes de l'autre! Le prix d'une marchandise est proportionnel à sa longueur, à son volume ou à son poids» selon qu'elle se mesure au mètre, au litre ou au kilogramme.

Deux grandeurs sont dites inversement proportionnelles lorsque, dépendant Tune de l'autre, le rapport de deux valeurs quelconques de Tune est égal au rapport inverse des valeurs correspondantes de l'autre. Dans une somme à répartir également entre plusieurs ouvriers, la part de chacun est inversement proportionnelle au nombre des copartageants.

Si ane grandeur dépend de plusieurs autres et varie en raison directe de chacune d'elles, on dit qu'elle est directement froportionnelie à ces grandeurs; mais si, toujours dépendante de plusieurs autres, elle varie en raison inverse de chacune d'elles, on dit qu'elle est inversement proportionnelle à ces grandeurs.

La proportionnalité directe ou inverse des grandeurs ne se démontre pas en arithmétique. Dans certains cas, elle est évidente ou admise par convention ; dans d'autres, elle est la conséquence de démonstrations appartenant au domaine de la géométrie^ de la physique, etc.

Maison peut avoir besoin de vérifier cette proportionnalité. Ona recours alors aux propositions suivantes, qui traduisent les propriétés essentielles des grandeurs directement proportioDnelles et des grandeurs inversement proportionnelles.

DARAT. — HéTBODOL. 9

130 ABITHMÉTIQUE THÉORIQUE

160. Théorèmes. — I. Pour que deux grandeurs soient directement proportionnelles j il faut et il suffit que si une valeur quelconque de Vune devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, la valeur correspondante de l'autre devienne aussi ce même nombre de fois plus grande ou plus petite^

II. Pour que deux grandeurs soient inversement proportionnelleSf il faut et il suffit que si une valeur quelconque de Vune devient un certain nombre de fois plus grande ou plus petite^ la valeur correspondante de Vautre devienne ce même nombre de fois plus petite ou plus grande.

161. Autres propriétés. — III. Si une grandeur est directe^ ment proportionnelle à plusieurs autres, ses valeurs sont directement proportionnelles aux produits des valeurs correspondantes des autres,

IV. Si une grandeur est inversement proportionnelle à plusieurs autres^ ses valeui's sont inversement proportionnelles aux produits des valeurs correspondantes des autres.

V. Si une grandeur est à la fois directement proportionnelle à certaines grandeurs et inversement proportionnelle à d'autres, ses valeurs sont directement proportionnelles aux produits des valeurs des premières grandeurs et inversement proportionnelles- aux produits des valeurs des secondes.

VI. Si deux grandeurs sont directement ou inversement pro-^ portionnelles à une troisième^ elles sont inversement proportionnelles entre elles.

VII. Si deux grandeurs sont Vune directement proportionnelle et Vautre inversement proportionnelle à une troisième^ elles sont directement proportionnelles entre elles.