CHAPITRE X

APPROXmATIOUS

§ I. — CSonBldérations générales. .

162. Jusqu'ici nous nous sommes surtout occupé du calcul des nombres exacts. Or nous avons vu qu^il est des nombres, comme les fractions décimales périodiques et les nombres irrationnels, qui ne peuvent être exprimés par une suite finie de chiffres, et nous savons que pour soumettre ces nombres aux opérations du calcul il faut leur en substituer d'autres, limités et choisis de manière qu'ils en diffèrent aussi peu que possible.

On n'ignore pas, en outre, que la mesure des grandeurs (longueurs, angles, poids, etc.), quelque perfectionnés que soient les instruments employés, ne donne que des nombres approchés de ces mesures.

Daulre part, dans une application de calcul, il suffit parfois de connaître une valeur approchée d'un résultat d'opération.

En résumé^ il est des circonstances où l'emploi des valeurs exactes des nombres est impossible ou inutile.

D'où la nécessité de règles particulières de calcul pour les nombres ?ipprochés, en vue d'obtenir rapidement et avec un degré donné, ou facile à déterminer, les résultats des opérations à effectuer sur ces nombres.

183. DéflDltloDs. — Nous savons qu^'oh appelle nombre ap^prochr ou valeur approchée par excès ou par défaut d*un nombre exact, tout nombre qui diffère en plus ou en moins de ce nombre exact d'une quantité très petite. Le degré d'approximation est d'autant plus grand que cette différence, qu'on

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nomme cn^eur^ est plus faible ; il s'exprime ordinairement par la plus petite unité décimale au-dessous de laquelle se maintient l'erreur.

L'erreur peut être envisagée à deux points de vue ; si Ton considère exclusivement la différence entre le nombre exact e( le nombre approché, sans souci de la valeur du premier, c'est-à-dire Terreur commise sur le nombre total, l'erreur est dite absolue ; mais si Ton considère le rapport de cette différence au nombre exact, c'est-à-dire l'erreur commise sur une unité simple du nombre total, Terreur est dite relative.

En désignant respectivement par <? et e Terreur absolue et Terreur relative d'un nombre exact N, on a la relation

d'où cette autre g =z Ne.

164. Problème des approximations. — Il résulte de ce qui précède que le problème des approximations comporte, pour chacune des opérations de l'Arithmétique, la résolution des deux questions suivantes :

1® Des nombres exacts ou susceptibles (Vune approximation illimitée étant donnés^ arec quelle approximation faut-il évaluer ces nombi'es pour obtenir le résultat d'une opération^ à laquelle ov doit les soumettre^ avec une approximation déterminée ?

2* Des nombres étant donnés chacun avec une approximation déterminée^ avec quelle aqyproximation peut-on obtenir le résultat d'une opération à effectuer sur ces nombres ?

Pour traiter cette double question, on emploie deux méthodes qui reposent respectivement sur la considération des erreurs absolues et sur celle des erreurs relatives.

Toutefois, il nous parâtt utile de faire remarquer ici que dans la mesure des grandeurs, comme dans l'appréciation du résultat d'un calcul^ il importe bien moins d'envisager Terreur absolue que Terreur relative, qui fait connaître le degré de précision avec lequel on a obtenu cette mesure ou ce résultat. Lorsque deux longueurs de 100 et de 4 000 mètres, par exemple, ont été mesurées Tune et l'autre avec une erreur de

l mètre, on peut affirmer, en effet, que la seconde est connue avec une plus grande précision que la première, parce que Terreur absolue de 1 mètre répartie sur chaque longueur donne une erreur relative d*un centimètre pour la première et d'un millimètre seulement pour la seconde.

Souvent il arrive qu'on ne connaît pas la valeur exacte de Terreur absolue ou de Terreur relative ; on en cherche alors des limites supérieures. Nous verrons par la suite ce que sont ces limites dans les dilTérenls cas que présente le calcul.

iii II. — Erreurs absolues.