Addition

165. Problème I. — Des nombres exacts ou susceptibles d'une approximation illiinilêe étant donnés^ trouver leur somme à une unité près d*un ordre déterminé.

S'il s'agit, par exemple, d'obtenir à 0,01 près la somme de 10 nombres au plus, il sufTira que chacun d'eux soit évalué

à -J — ou 0,001 près ; Terreur sur chaque nombre étant

moindre que 0,001 , Terreur totale sera moindre que 0,001 x 10 ou que 0,01. Si la somme doit comprendre plus de 10 nombres, mais 100 au plus, il suffira que chacun de ces nombres

soit évahié à jr-^ ou 0,0001 près, parce que Terreur totale

sera moindre que 0,0001x100 ou 0,01. Et ainsi de suite.

D'où la règle d'une addition abrégée :

On évalue chacun des nombres à additionner par défaut^ à une unité près d'un ordre qui soit^ par rapport à celui de Vanité qui fjprime l'approximation demandée^ inférieure d'un ranq s'il nif a pas plus de dix nombres, de deux rangs s'il y a plus de dix ft moins de cent nombres^ et ainsi de suite. On fait la so77ime de ces HombiTs, sur la droite de laquelle on supprime un chiffre dans l^ premier cas^ deux dans le second, etc.^ et l'on augmente d'une milité le dernier chiffre de droite conserré.

166. Problème II. — Des nombres éUuit donnés avec une approximation confine, avec quelle approximation peut-on obtenir leur somme ?

Supposons que tous les nombres donnés soient approchés par excès, et désignons par N, N\ N', . . . les nombres exacts et par e, e\ e"y . . . les erreurs absolues respectives; la somme des nombres approchés est égale à

{N4-e)H-(N'-+-e')H-(N''-hO + ou à N-hN'-HN"-h...H-(«-f-e'-he"-f-...),

ce qui montre que l'erreur absolue de la somme des nombres approchés est égale à la somme des erreurs absolues des nombres donnés et de même sens que ces erreurs .

Le raisonnement et ses conclusions sont les mêmes pour des nombres approchés par défaut.

On peut donc dire que si les nombres donnés sont approchés les uns par défaut, les autres par excès, certaines erreurs sont partiellement détruites par d'autres, et il en résulte que Terreur absolue de la somme est inférieure à la somme des erreurs absolues des nombres additionnés. Le sens de Terreur totale est celui de la plus forte somme des erreurs partielles de même sens.

En résumé, on peut toujours dire que Verreuv absolue de la somme de plusieurs nombres approchés ou non dans le même sens est au plus égale à la somme des en^eurs absolues df ces nombres,