MoltiplicaUon

169. Question I. — Deux nombres exacts ou susceptibles d'une approximation illimitée étant donnés^ trouver leur produit à une unité près d'un ordre déterminé.

Pour résoudre cette question on suit la règle dite d'Oughtred^ qui est une règle de multiplication abrégée ei dont voici l'énoncé :

On écrit d'abord le multiplicande^ puis au-dessous^ le multiplicateur renversé^ dp manière que le chiffre de ses unités simples soit placé sous le chiffre du multiplicande qui exprime des unités cent fois plus petites que celles de l'ordre d'approximation demandée^ et l'on supprime sur la droite du multiplicande tous les chiffres qui dépassent le multiplicateur et sur la gauche du multiplicateur tous les chiffres qui dépassent le multiplicande.

On multiplie ensuite le multiplicande successivement par chacun des chiffres du multiplicateur, en commençant, pour chaque produit partiel, au chiffre du multiplicande placé au-dessus du chifffre employé du multiplicateur; on écrit tous ces produits partiels les uns au-dessous des autres, de manière que les derniers chiffres de droite se correspondent tous dans une même colonne verticale et l'on fait la somme. On supprime enfin les deux derniei^s chiffres à droite de cette somme, on augmente le chiffre précédent d'une unité et l'on fait exprimer au résultat des unités de l'ordre d'approximation demandée.

Soit à faire le produit à 0,001 près des deux nombres 4,69532017856. . . et 52,4963281759, ...

En appliquant la règle précédente on a le tableau suivant :

• On en-déduit que le produit des deux nombres proposés, à 0,00! près, est 246,487 : c'est ce qu*il s'agit d'établir pour démontrer la règle sur cet exemple.

Remarquons d'abord que tous les produits partiels exprimant des unités de même ordre, des cent-millièmes, leur disposition est justifiée. Quant à Terreur du produit total, eUe provient : i® de la somme des erreurs commises sur les divers produits partiels réalisés, en négligeant dans chacun deax le produit d'une partie du multiplicande par le chiffre correspondant du multiplicateur ; 2^ de la suppression des produits partiels du multiplicande par les derniers chiiTres du mnllipUcateur. Or. la somme des erreurs des produits partiels réalisés est moindre qu'un cent-millième répété autant de fois qu'il y a d'unités dans la somme des chiffres employés du multiplicateur, c'est-à-dire moindre que

ou que 0,00031. De son côté, la suppression des produits partiels du multiplicande par les derniers chiffres du multiplicateur donne une erreur moindre qu'un cent-millième répété 5 fois, c'est-à-dire moindre que 0,00001 X 5 ou que 0 00005 . En somme Terreur totale est moindre que 0,00031 4-0,00005 ou que 0,00036 et, a fortiori^ que 0,001. C. Q. F. D.

Remarque J. — - Si la somme des chiffres employés du multiplicateur augmentée du premier chiffre plus un du multiplicande était supérieure à 100, la règle serait en défaut. Il faudrait alors, dans la disposition de l'opération, placer le chiffre désunîtes du multiplicateur sous celui du multiplicande qui représenterait des unités mille fois plus petites que celles de Tordre d'approximation demandée, et à la droite du produit approché on supprimerait trois chiffres.

Remarque II. — La règle de la multiplication abrégée s'applique sans modification au calcul du carré, à une unité près d'en ordre déterminé, d'un nombre exact ou susceptible d'une approximation illimitée.