QueBlton II. — Deux nombres étant donnés avec une

approximation connue, avec quelle approximation peuton obte^ nir leur produit ?

Supposons que les deux nombres donnés soient approchés par excès, et désignons par N et N' les deux nombres exacts et par e et e' leurs erreurs absolues respectives. Le produit des nombres approchés est;égal à (N -l-e){N' -+- e') ou à

N X N' -h(N' -h ey -H (N -f- e)^ — ee',

ce qui montre que Terreur absolue du produit approché, égale à (N' H- eOe -i- (N -h e)e' — ee' ou à N'e H- N«' -h ee', est dans ce cas inférieure à la somme des produits de chacun des nombres approchés par excès par Terreur de Tautre, et qu'elle est ' de même sens que les erreurs de ces nombres.

Si les deux nombres sont approchés par défaut, un raisonnement analogue dén^ontre que Terreur absolue du produit est inférieure à la somme des produits de chacun des nombres exacts par Terreur de Tautre et qu'elle est de même sens que les erreurs de ces nombres.

Enfin, si Tun des deux nombres est approché par défaut et Taufre par excès, on démontre aussi que Terreur absolue du produit est inférieure à la somme des produits de chacun des nombres exacts par Terreur de Tautre.

On peut donc toujours dire que Vei^eur absolue du produit de deux nombres approchés ou non datis le même sens est inférieure à la somme des j)roduits de chacun des nombres approchés ptir exa)s par Verreur absolue de Vautre,

Le cas particulier où un seul des deux nombres est approché se déduit facilement de ce qui précède.

Remarque L — De la limité de Terreur absolue d'un produit de deux facteurs approchés dans le même sens, on déduit que Terreur absolue du carré d'un nombre approché par excès ou par défaut est toujours inférieure au double produit du nombre approché par excès par Terreur absolue de ce nombre et qu'elle est de même sens que celle-ci.

Remarque IL — Pour le cas de plus de deux facteurs, approchés ou non dans le même sens, on démontre que Terreur absolue du produit est inférieure à la somme des produits

obtenus en multipliant l'erreur absolue de chaque facteur par le produit de tous les autres facteurs approchés par excès.

A. — DiTision.

171. Qaestloa I. — Deux nomb-fes exacts ou susceptibles d'une approximation illimitée étant donnés^ trouver leur quotient à une unité près d'un ordre déterminé.

Pour résoudre cette question on suit la règle de division abrégée suivante :

Oti commence par déterminer le nombre total des chiffres que doit avoir le quotient approché. On forme ensuite sur la gauche du diviseur, avec ce qu'il faut de chiffres^ le plus petit nombre contenant celui qui exprime le nombre des chiffres du quotient ; on prend à la suite autant de chiffres qu'il doit y en avoir au quotient et l'on supprime les suivants : l'ensemble des chiffres conservés forme le premier diviseur. Puis on prend sur la gauche du dividende assez de chiffres pour former un nombre qui contienne^ abstraction faite des virgules, au moins une fois mais moins de dix fois le premier diviseur^ et l'on supprime les suivants : le nombre ainsi formé est le premier dividende partiel.

On divise le premier dividende partiel par le premier diviseur H Von a le premier chiffre du quotient. On retranche du premier dividende le produit du premier diviseur par ce premier chiffre du quotient et Von obtient le deuxième dividende partiel. On supprime le dernier chiffre à droite du premier diviseur et Von (orme le deuxième diviseur. On divise le deuxième dividende partiel par le deuxièmp diviseur et l'on a le deuxième chiffre du quotient. On retranche du deuxième dividende partiel le produit du deuxième diviseur par ce deuxième chiffre du quotient et Von fihtient le troisième dividende partiel. On supprime le dernier rhiffre à droite du deuxième diviseur et Von forme le troisième diviseur. On continue ainsi jusqu'à ce que Von ait obtenu tous les f'hiffres prévus du quotient^ et l'on fait exprimer à ce résultai des unités de V ordre d'approximation demandée.

Soit à trouver le quotient à 0,001 près de 371 ,48356902. . par 4,23547291....

En appliquant la règle précédente, on a le tableau suivant

On en déduit que le quotient des deux nombres proposés, à 0,001 près, est 87,707. C'est ce qu'il s'agit d'établir pour démontrer la règle sur cet exemple.

Si nous considérons le résultat obtenu, 87707, comme un nombre entier, la question revient à prouver que ce nombre est le quotient à une unité près de 371483,56902... par

4,23547291 Pour cela, il faut montrer que la différence

entre ce nouveau dividende, considéré comme complet, et le produit par 87 707 du diviseur, considéré aussi comme conaplet, est inférieure au diviseur.

Or le dividende se compose, dans cette opération : 1** de la somme des produits que l'on en a successivement retranchés ; 2^ du reste 3,12902. De son côté, le produit du diviseur par 87707 comprend: i** la somme des produits tels qu'on les a formés successivement pour Ips retrancher du dividende (cette partie est exactement la même que la première partie du dividende) ; 2* les erreurs commises sur ces différents produits. Il s'ensuit qu'on est amené à cette autre question plus simple : prouver que la différence entre le reste final de l'opération et la somme des erreurs commises dans ces produits partiels du diviseur par les différents chiffres du quotient est inférieure au diviseur.

Le reste final est nécessairement moindre que le diviseur si l'opération est bien faite. Quant à la somme des erreurs des produits partiels envisagés, elle est inférieure, d'après la règle abrégée de la multiplication, au produit de un centième par la somme des chiffres du quotient^ c'est-à-dire moindre que 0,29, partant moindre qu'une unité et par suite que le diviseur

qui est plus grand qu'une unité. La différence de ces deux quantités, toutes deux inférieures au diviseur, est elle-même a fortiori inférieure à ce diviseur. C. Q. F. D.

Remarque I. — Il peut se faire qu'un des dividendes partiels contienne plus de iO fois le diviseur correspondant; on augmente alors d une unité le dernier chiffre trouvé du quotient et Ton complète ce quotient par des zéros.

Rekarquk II. — Un diviseur donné peut n'avoir pas assez de chiffres pour former, d'après la règle précédente, le premier diviseur ; on détermine dans ce cas les premiers chiffres du quotient par la méthode ordinaire.

172- QaestJon II. — Deux nombres (Haut donnés avec une opproximaiion connue, avec quelle approximation peut-on obtenir leur quotient ?

Supposons d'abord que les deux nombres donnés soient approchés par excès, et désignons par N et N' les nombres exacts et par e et e' leurs erreurs absolues respectives. L'erreur absolue du quotient approché, suivant que ce quotient est supérieur ou inférieur au quotient exact, peut se présenter

sous les deux formes ^^j^— ,-- et --.^j^^^, qui

reviennent à -tttj; — -7: et j-^rrr, ;-• Or cesdeuxexpres- N'(N' -4- e^) N (N' H- e')

sions sont respectivement moindres que — tt^ — et — — — ;

il s'ensuit que Terreur absolue du quotient approché est inférieure au nombre que Ton obtient en divisant par le carré du diviseur exact la différence des produits de chacun des deux nombres exacts par Terreur de Tautre.

Si les deux nombres sont approchés par défaut, un raisonnement analogue établit que Terreur absolue du quotient approché est inférieure à la différence des produits de chacun I es nombres exacts par Terreur de Tautre, cette différence I tant divisée par le carré du diviseur approché par défaut. Eniin^ si l'un des nombres est approché par défaut, Tautre ar excès, on démontre par le même procédé : i^ que Terreur

absolue du quotient est inférieure à la somme des produits de chacun des deux nombres exacts par Terreur de Tautre, cette somme étant divisée par le carré du diviseur approché par défaut ; 2^ que cette erreur est de même sens que celle du dividende.

En résumé, on peut toujours dire que Verreur absolue du^ quotient est inférieure à la somme des produits de chacun des deux nombres exacts par Verreur de Vautre^ cette somme étant divisée par le carré du ditnseur approché par défaut.

Remarque. — Les cas particuliers où un seul des deux no<nbres est approché se déduisent facilement de ce qui précède.