Racine carrée

173. Queellon I. — Un nombre exact ou susceptible d*une approximation illimitée étant donné y trouver sa racine carTée à une unité près d^un ordre déte^^miné.

En posant ce problème précédemment résolu (128), notre intention est de donner une règle d'extraction abrégée de racine carrée pour le cas où Ton peut avoir besoin d'un très grand nombre de chiffres. Cette règle suppose que Ton a préalablement multiplié le nombre proposé, comme dans la règle ordinaire (128, Rem. II), par une puissance de 10 choisie de façon à ramener la question à la recherche de la racine carrée d'un nombre à une unité près, sauf à faire exprimer au résultat les unités deTordre d'approximation demandée. En voici Ténoncé :

On cherche^ par le procédé ordinaire, la moitié plus un des chiffres de la racine et Von obtient les autres en divisant le reste correspondant à cette première partie de V opération par le double, de la racine trouvée à laquelle on fait exprimer sa valeur relative au moyen de zéros.

Soit N un nombre dont la racine carrée à une unité près contient (2m -h i) chiffres; désignons par a la partie de cette racine formée avec les (wt-f-1) premiers chiffres, suivis de m zéros, et par h la seconde, qui est le plus souvent un nombre irrationnel, on aura

On en tire, pour le reste correspondant à la détermination des (m -^ i) premiers chiffres, l'expression suivante :

N — a« = 2ab-hb\ et, ponr le quotient de ce reste par le double de la racine

trouvée,

D'autre part, si Ton désigne par q le quotient entier de N — fl* par 2a, et par r le reste, il vient

Il s'agit de prouver que b = q.

Les égalités (i) et (2) donnent

et si Ton démontre que la différence des deux nombres ---

b* et-- est inférieure à l'unité, on aura prouvé par là même que

r T-) par hypothèse, est plus petit que Tunilé. D'un autre côté,

la partie entière de b ayant au plus m chiffres, b* en aura au plus 2m et sera inférieur à 10*'" ; mais comme 2a en aura an moins (2m -h i), puisque a en a (2?^ -h 1), 2a sera

supérieur à iO^'" ; il en résulte donc que ^ sera plus petit

que Tunité. Or, la différence de deux nombres inférieurs Tua H l'autre à Tunité est, a fortiori, inférieure à cette même quantité. CL Q. F. D-

Remarque. — Des relations précédentes on peut déduire le sens de Tapproximation de la racine obtenue ainsi que la valeur du reste de cette racine.

i74. Qoestion II. — Un nombre Hant donné avec unf* 'approximation connue^ avec quelle approximation peut-on obtontr sa ra cine carrée ?

Supposons que le nombre donné soit approché par excès • et désignons par N le nombre exact et par ^ son erreur absolue. L'erreur absolue de sa racine carrée aura pour valeui^ v^Nn-e — v^N ou, en multipliant et çn divisant cette exprès-

sîon par • /N-h^ -H /N, , =• Or si l'on remplacer

au dénominateur de cette dernière quantité, •N-f-e par %/N r on obtient la quantité plus grande —pi à laquelle nécessai—

rement est inférieure l'erreur absolue de la racine carrée considérée.

Si le nombre donné est approché par défaut, on démonire, par un raisonnement analogue^ que Terreur absolue de sa racine carrée est moindre que le quotient de l'erreur absolue de ce nombre par le double de la racine carrée du nombre approché par défaut.

De sorte qu'en résumé, on peut toujours dire que Verreur absolue de la racine carrer d\in nombre approché par excès ou par défaut est inférieure au quotient de l'eiTeur absolue de c** nombre par le double de la racine carrer du nombre approché par défaut,

§ III. — Erreurs relatives.

175. L*erreur relative d'un nombre étant le quotient de Terreur absolue par le nombre exact, sa valeur se traduit tou^ jours par une petite fraction ; il en résulte qu'on peut négliger sans inconvénient, dans le calcul, les puissances des erreurs relatives ainsi que les produits de plusieurs de ces erreurs.

On dit qu'un nombre approché a m chiffres exacts lorsque Terreur absolue de ce nombre est inférieure à une unité de Tordre marqué par son m« chiffre à partir de la gauche, le premier devant être un chiffre significatif.

176. Principes généraux. — On peut faire reposer le calcul des erreurs relatives sur les deux théorèmes suivants :

I. Lorsqu'un nombre approché a m chiffres exacts^ Vei^eur relative de ce nombre est inférieure à une fraction qui a pour

numérateur l*unitê et pour dénominateur la (m — i)* puismna' de 10.

II. Lorsque Verreur relative d'un nombre approché est inprieure à une fraction qui a pour numérateur Vunité et pour dénominateur une puissance m* de 10 , ce nombre a généralfment m chiffres exact x.

Partant de là, nous allons résoudre pour chaque opération principale, et par la considération des erreurs relatives, les deux questions générales des approximations.