DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

1. L'étude du monde physique, réel ou idéal, conduit à la découverte d'un très grand nombre de principes certains, de propositions vraies auxquelles on a donné le nom de vérités scientifiques.

Ces vérités sont de deux sortes : les unes, réelles ou concrètes^ appelées loisy qui constiineniles sciences physiques et naturelles; les autres^ abstraites ou idéaks^ désignées sous le nom de propositions^ qui constituent les sciences mathématiques.

2. Pour appliquer notre esprit avec succès à la recherche ou à la démonstration d'une vérité scientifique, il est nécessaire de suivre certaines règles, variables avec la nature des choses envisagées et qui, prises isolément ou par groupes, suivant les ^ ''as, forment ce qu'on appelle des méthodes.

A quelque question qu'elle s'applique, toute méthode porte Q elle le raisonnement^ qui procède tantôt par déduction, lorstt'il conduit du général au particulier, tantôt par induction, ^rsqu'il va du particulier au général.

DAVZAT. — mAtHODOL. 1

De là, deux grandes méthodes pour la recherche des vérités scientifiques : la méthode déductive ou rationnelle, qui est celle des sciences mathématiques, où tout s'établit par déduction en partant de définitions et de principes réputés évidents, et la méthode inductive ou expérimentale y qui est celle des sciences physiques et naturelles, où la connaissance des faits et des principes s'acquiert par Tobservation, l'expérimentation et rinduction.

L*élude des méthodes considérées au double point de vue théorique et pratique fait Tobjet de la méthodologie.

^ l. ^ Objet et division des Mathématiques.

3. Parmi les notions qui nous viennent de la vue et de Tobservation des corps au milieu desquels nous vivons, celles de la pluralité, de Yétendue ou de Vespace, et du mouvement, qui sont des plus simples, servent de point de départ aux sciences mathématiques. Considérée seule, la notion de la pluralité conduit à celle des nombres dont s'occupe VArithmétique ; la notion de l'étendue entraîne avec elle celles de la forme, des figures, objet de la Géométrie; et la notion du mouvement donne naissance à la Mécanique : ce sont là les trois branches essentielles des Mathématiques.

Ces notions^ qui représentent tout d'abord des attributs d'êtres matériels, peuvent être conçues indépendamment de la réalité de ces êtres. Par une opération de Tesprit à laquelle on donne le nom d'abstraction y nous les dégageons de cette réalité, nous les ramenons à leurs plus simples éléments, qui nous aident ensuite à former tous les nombres et toutes les figures^ sur lesquels, à leur tour, nous raisonnons pour en découvrir les rapports ainsi que les propriétés générales ou particulières.

A cette faculté créatrice des sciences mathématiques, qui s'exerce sur les objets dont elles s'occupent, et implicitement sur les propriétés de ces objets, se joignent la rigueur des raisonnements et la certitude des résultats, toutes choses qui leur ont fait donner le nom de sciences exactes.

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DES SCI£;^'G£S MATHÉMATIQUES • 3

4. Les mathématiques se divisent en malhémaiiques pures^ en mathématiques mixtes et en mathématiques appliquées.

Les premières comprennent, en dehors de l'Arithmétique et de la Géométrie, V Algèbre, née de la généralisation de TArithmétique, qui domine les deux sciences précédentes parce qtt*elle traite des mêmes choses d'une manière générale, et YAnalyse^ qui est la partie la'plus élevée de l'Algèbre et qui embrasse le Calcul infinitésimal» Toutes ces sciences particulières, unies les unes aux autres par des liens nombreux, se soutiennent entre elles comme un tout dont les parties sont inséparables.

Les mathématiques mixtes comprennent la Mécanique et VAstronomie.

Les mathématiques appliquées donnent lieu à des branches •très variées. Citons, entre autres, le Calcul des probabilités^ qui recherche pour certains événements le noûibre des chances qu'ils ont d'arriver; la Géométrie descriptive^ qui représente sur un même plan les ligures et les constructions de Tespace, et en tire les différentes dimensions ; le Dessin linéaire^ la Topographie, les Constructions civiles^ militaires et navales^ les Machines^ YHydraulique, la Balistique^ la Cosmographie^ etc.

§ II. — Démonstration.

5. La connaissance des propriétés particulières des nombres, et des figures», ainsi que celle des rapports des nombres entre eux et des figures entre elles s'acquièrent par la démonstration.

C'est une suite de raisonnements déductifs qui repose sur les définitions et sur des principes évidents, les axiomes, et qui aboutitii Tévidence de ce que l'on veut établir. L'expérience n'y a pas la moindre part. Ce qui est ainsi acquis est « absolu* ment parfait ».

Pascal recommande de « n'entreprendre de démontrer aucune des choses qui sont tellement évidentes d'elles-mêmes, qu'on n'ait rien de plus clair pour les prouver», mais de démontrer toutes celles qui ne portent pas avec elles cette

4 INTRODUCTIOr^

- évidence, « en n'employant à leur preuve que des axiomes très âvidenls d'eux-mêmes ou des propositions déjà démontrées ou accordées ».

i; m. — DéUnitioiu .

Les définitions mathématiques sont des propositions e synthétique qui expriment certains rapports des choses Bs ont en vue avec des choses connues. Tous les rapports >les n'ont pas à être exprimés. On doit << se borner, dit ~ nel, k ceux qui sont nécessaires et suflisants pour que ence de la chose soit complètement et distinctement ie ; car toute autre condition ajoutée serait une conséle des premières, ou serait incompatible avec elles ». ir être irréprochables, lesdéHnitions doivent être claires, atenir que des expressions connues et ne convenir exclulent qu'aux choses définies.

ce que pour définir une chose il faut en connaître d'aum remontant de proche en proche la série des déQnitioDS érivent les unes des autres, on arrive nécessairement à loses qui ne peuvent pas être définies, telles que l'espace, ae droite, l'angle, etc.

I définitions ont leur place au commencement de toute ce ou de toute théorie mathématique ; elles sont les prinessentiels des démonstrations.

t; IV. ~ AxlomsB et Postulats,

Les axiomes sont des propositions d'ordre analytique,

ntes par elles-mêmes et qui sont indémontrables.

iple;

in, point à un autre, on ne peut mener qu'une seule iigne

i propositions, qui sont des moyens de démonstration, cent des rapports nécessaires entre des choses mathéma-