DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

tiques ; c'est ce qai en rend révidence indiscutable et la démonstratioD inutile ou impossible.

La plupart des axiomes revêtent un caractère d'universalité, parce qu'ils s'appliquent à toutes les sciences mathématiques. Tel est le cas du suivant :

Deux quantités égales à une troisième sont égales entre elles.

8. En dehors des axiomes, il existe d'autres propositions auxquelles on est parfois obligé d'avoir recours dans les démonstrations qui sont regardées comme vraies, mais qu'on reconnaît ne pouvoir démontrer^ ce sont les postulats. On en a un exemple, en géométrie, dans cette proposition (ou une autre équivalente) que Ton énonce, en l'admettant comme vraie, au commencement de la théorie des parallèles :

Par un point -pris hors d*une droite, on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite,

§ V. — Théorèmes et Problèmes.

"8. Un théorème est une vérité ou une proposition mathématique qui ne devient évidente que par une démonstration.

Exemple :

L'aire d'une sphère est équivalente au quadruple de l'aire d'un grand cercle.

Dans un théorème, ou pour mieux dire, dans toute proposition, on distingue deux parties essentielles : l'hypothèse^ qui indique les conditions où l'on se place, et la conclusion^ qui exprime le fait résultant de Thypothèse, et dont la démonstration est à faire quand il s'agit d'un théorème.

Lorsqu'on renverse les deux parties d'une proposition, vraie ou fausse, c'est-à-dire lorsqu'on en prend l'hypothèse et la cenclusion pour en faire respectivement la conclusion et Thy-

)Qthèse d'une autre, on forme une nouvelle proposition qui est dite la réciproque de la première. Par opposition, la première s*appelle proposition directe. Le théorème suivant :

Tout triangle équilatéral est équiangle à pour réciproque :

Tout triangle équiangle est équilatéraL

D'autre part, si Von construit une proposition dans laquelle l'hypothèse et la conclusion sont respectivement les contraires de rhypothèse et de la conclusion d'une autre, on obtient la proposition contraire de cette autre, h^ théorème direct précédent a pour contraire celui-ci :

Tout triangle qui n'est pas équilatérnl n'est pas équiangle.

(juand deux propositions sont réciproques ou contraires Tuiie de Tautre, il ne s'ensuit pas qu'elles doivent être vraies ou fausses simultanément; mais la réciproque et la contraire d'une môme proposition sont toujours vraies ou fausses ea* même temps.

Enfin deux propositions qui sont la négation Tune de l'autre sont dites contradictoires. De telles propositions nesontjamais ou vraies ou fausses simultanément. Exemple :

Dans un triangle la somme des trois angles est égale à deux droits (vraie) ;

Dans un triangle la somme des trois angles n'est pas égale à deux droits (fsixxsse).

10. Un problème est toute question dans laquelle il s'agit de déterminer des choses d'espèce désignée d'après leurs rapports avec d'autres choses données. Exemples :

Trouver la somme des cent premiers nombres impairs ;

Construire la perpendiculaire au milieu d'un segment de droite.