CHAPITRE II

214. n n'existe pas, à proprement parler, de méthode générale pour la résolution des problèmes d'Arithmétique en dehors de l'analyse, qui convient, avons-nous dit, tout particulièrement pour la recherche des choses inconnues. Elle consiste, ici, après avoir pris connaissance du problème d'une manière exacte et complète, à chercher, par Tétude minutieuse des rapports qui existent entre toutes les quantités connues et inconnues de ce problème, la série des questions de plus en plus simples auxquelles la proposée peut être ramenée, jusqu'à ce qu'on arrive à un problème que l'on sait résoudre, soit que l'énoncé en indique la solution, soit qu'on ait appris au préalable à le traiter. Ce travail, délicat et diflicile, variable avec chaque ordre de problème — pour ne pas dire avec chaque problème — exige la connaissance entière des règles et des procédés du calcul ainsi que des principes généraux de l'Arithmétique.

Toutefois, en dehors des opérations fondamentales et de leurs dérivées, comme celles qui se rapportent au calcul des puissances et des racines, il est des procédés qui ont pour objet la résolution immédiate et simplifiée de certaines questions élémentaires dont l'étude peut être directement proposée ou qui peuvent résulter des dernières opérations de l'analyse sur un problème complexe.

Parmi ces procédés, qu'on appelle plus généralement des méthodes, nous indiquerons :

i** la méthode des proportions ou des rapports égaux ;

9* la méthode de réduction à l'unité ; 3® ia méthode des hypothèses.

2d5. Ainsi, parmi les problèmes arithmétiques, si nombreux et si Yariés, il en est, et ce sont les plus simples, les plus élémentaires, qui se résolvent immédiatement, c'est-à-dire dont renoncé indique clairement l'opération ou la série d'opérations ài effectuer (additions, soustractions, multiplications^ divisions, etc.) pour en obtenir la solution ; d'autres, dont les opérations finales sont amenées par quelques procédés spéciaux ; d'autres enfin, plus compliqués, qui nécessitent l'emploi de l'analyse pour être ramenés aux uns ou aux autres des précédents.

Dans l'étude de ces diverses catégories de problèmes, nous ferons usage des notations littérales chaque fois que la généralisation d'une question devra nous conduire à des formules d'une certaine utilité pratique ; ces formules nous permettront bien souvent d'ailleurs d'en tirer^ avec les solutions qu'elles résument, de très intéressantes questions de même ordre que

. les problèmes généralisés.

Nous ajouterons même que sans vouloir empiéter sur le domaine de l'Algèbre, par l'emploi des moyens qui lui sont propres, nous aurons plus d'une fois recours, pour la résolution numérique de certains problèmes, à l'usage des lettres, afin de mieux fixer la pensée, de simplifier les indications de calcul, d'abréger le raisonnement et d'y mettre plus de clarté. La ligne de démarcation entre l'Arithmétique et l'Algèbre n'est pas si bien définie, en effet, que Ton soit obligé, pour traiter les questions qui se rapportent à la première, de se tenir sur un terrain exclusivement numérique; ces deux sciences, qui sont comme la suite Tune de l'autre, ont au contraire, non seulement des points de contact nombreux et variés, mais encore des points communs si multiples que, sans prétention comme sans usurpation, l'Arithmétique peut légitimement se servir de certains procédés d'apparence ou de nature plutôt algébrique.

§1. — Solutions immédiates.

216. !• On a mesuré quatre fois une même longueur: la pre~ mière fois on d trouvé 35", 40, la deuxième fois 3^^^ ^^5, la troisième fois 35™,i0 et la quatrième fois 35'",25. Quelle est la mesure moyenne de cette longueur ?

Chacun sait que la moyenne ou, plus exactement^ la moyenne arithmétique de plusieurs quantités de même espèce est le quotient de la somme de ces quantités par leur nombre. La solution de ce problème sera donc donnée en additionnant les quatre nombres 35»,40, 34",95, 35»,10 et 35^25, et en divisant le résultat obtenu par 4. On a ainsi

Remarque. — Les questions de ce genre sont ordinairement désignées sous le nom de problèmes sur les moyennes. Elles se présentent fréquemment dans rétablissement des statistiques et dans certaines recherches des sciences d'observation.

217. II. Im somme de deux nombres est 38 et leur différence 12. Qaels sont ces deux nombres ?

Si les deux nombres étaient égaux, on les obtiendrait en prenant la moitié de leur somme ; or, on peut rendre le plus petit égal au plus grand en l'augmentant de leur différence iâ, et si Ton admet que cette augmentation a lieu dans leur somme 38, le résultat de l'addition 38 + 12 contiendra deux fois le

plus grand des deux nombres, lequel sera ainsi égal à — - —

ou à 25 ; le plus petit se calculera dès lors en retranchant 12 de 25, ce qui donnera 13.

Pour vérifier les deux nombres 25 et 13 ainsi obtenus, il suffira de montrer que leur somme est 38, car le second ayant ' été calculé en s*appuyant sur la différence 12, la vérification devient inutile pour cette seconde donnée.

Remarque I. — Au lieu de chercher à rendre, dans la somme des deux nombres, le plus petit égal au plus grand, on pourrait

rendre le plus grand égal au plus petit, eu le diminuant de leur • diffâreuce. Le plus petit nombre serait ainsi donné par l'expression — 1 qui se réduit au nombre 13 et amène ainsi

ésultat identique au précédent. Le plus grand nombre iendrait alors en ajoutant au plus petit nombre, 13, la reuce donnée, 12.

3IARQUB II. — En rapprochant ces deux procédés de raisonent ainsi que les premières opérations auxquelles ils luisent, on remarque : 1° que le plus grand des deux

bres, représenté par l'expression — - — -, est égal au

i-total de la somme et de la différence des deux nombres

cbés, et que le plus petit, représenté par l'expression

> est égal au demi-excès de la somme sur la dilTérence

es mêmes nombres.

Q donne à ces indications de calcul une forme générale, en

gnanl par s la somme des deux nombres et par d leur

irence. Les deux nombres sont alors représentés par les

ressions — - — et — ~ — Ce sont des formules qui

vent élre mises sous la forme unique

telle donne ainsi pour x deux valeurs représentant respecment le plus grand et le plus petit nombre cherchés. eiiABOUE m. — Ungrand nombre de problèmes se ramènent lemière analyse à la recherche de deux nombres dont ou naît lasomme et ladilTéreuce. Nous en verrons plus d'un mple dans la suite.

18. III. Un ei-faut it 7 ans, son père en a 31 ; duns ccinlnuu anits l'âge du père ne sera-t-it plus que le triple de celui de

lOrsque l'âge du père contiendra 3 fols l'âge de l'enfant, la èrence des deux ùges vaudra nécessairement 2 fois celui de ifant. Or, cette différence, qui représente l'ùge du père & la

MOUT. — H^HOnOL. 12

naissance de Tenfant, est la même à toute époque de leur existence ; c'est un nombre constant qui est égal à 31 — 7 ^ ou 24. Ce nombre de 24 années valant 2 fois Tàge du fils an

moment où se réalisera la condition posée dans le problème,

rage cherché du fils sera de --- ou 12 ans, et comme il a

aujourd'hui 7 ans, la condition sera remplie dans un nombre d'années égal à 12 — 7 ou 5 ans.

On vérifiera ce résultat en montrant que TÀge du père sera dans 5 ans le triple de celui du fils.

Remarque. — Dans les problèmes de ce genre, la différence des âges est une quantité importante à connaître ; elle sert généralement de base à la solution.

§ II. — Solutions analytiques.

219. I. Un fermier a deux journalier s qu'il paye au même prix:

il donne à l'un, pour 56 jours de travail, 4 mesures de blé et 56'',

et à Vautre, pour SA jours, 7 mesures -— de blé et 69''. Quelle est

la valeur de la mesure de blé ?

La rémunération d'une journée de travail étant la môme pour

chaque journalier, cherchons-en Texpression dans Tun et l'autre

cas.

Pour le premier journalier, elle vaut le -r^ de 4 mesures de

blé et de 56'% ou -^ de mesure -i- 1'', ou plus simplement

— de mesure -H 1''.

Pour le second, elle vaut le r— de 7 mesures — de blé et

de 69'', ou 2 de mesure -H -07» ou plus simplement —

de mesure h- -2— • De sorte que Ton a

— de mesure de blé -4- i" = r^ de mesure de blé -f- -5— • 14 56 Z8

La question est ainsi ramenée à cette autre :

Che7xhei' un nombre de francs dont le -jr augmenté de V^ vaut

les -5— de ce même nombre augmentés de -^ de franc. 56 28

On conçoit que ce quMI y a du nombre cherché en plus dans un des meoEibres de Tégalité doit être représenté par la fraction de franc qu'il y a en plus dans Tautre membre. Or la différence des fractions du nombre cherchera Favantage du second

membre, esl A ^ = A. ^ = ^. et la différence

des sommes exprimées, à l'avantage du premier membre, est

de 1'' — = 2g de franc.

On a donc la nouvelle égalité

de mesure de blé =

et l'on est amené au problème suivant :

Trouver un nombre de francs dont le -^^ vaut -^ de franc.

Ce nombre est égal à

Kfr

La vérification donne, pour le premier journalier, une somme totale de 10''' X 4 -h 56^' = 96'% soit pour une journée de tra-

^*^^ "S^ = *'V' ®t P^^r '® second, une somme totale