CHAPITRE II

DES MÉTHODES GeNËBALES DE RAISONNEMENT

11. La démonstration d^une proposition peut se faire directement^ c'est-à-dire en prouvant que cette proposition est vraie, on indirectement, en prouvant que la proposition contradictoire est fausse.

Les méthodes générales de raisonnement qui interviennent dans le premier cas sont Vanalyse et la synthèse ; dans le second, la méthode de réduction à l'absurde.

Les deux premières sont, en outre, employées pour la résolution des problèmes.

§ I. — AnalyBe.

12. L'analyse consiste à. ramener la question proposée à une autre dont elle peut se déduire comme conséqjuence ; celle-ci à une troisième, dont elle peut se déduire à son tour, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à une question connue. Cette marche rétrograde du raisonnement, de la conséquence au principe, a fait donner à l'analyse le nom de piéthode de régression ou de réduction ; on rappelle encore,' pour cette même raison, méthode dés substitutions successives.

13. Quand on a à faire la démonstration d'un théorème, on "herche si ce théorème peut être la conséquence immédiate et

icessaire d'une proposition connue ; s'il en est ainsi, le théo- ^me est démontré. Dans le cas contraire, on cherche si ce iéorème peut être la conséquence d'une proposition à démooi^r, puis si celle-ci, à son tour, peut être déduite d'une prôpo-

si tien reconnue vraie ou d'une proposition à démontrer, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à* une proposition connue ; à ce moment le théorème proposé est démontré. Le succès et la rapidité dans cette recherche dépendent du talent de celui qui la dirige.

C'est ainsi que la démonstration du théorème : Un nombre impair] quelconque est premier avec la moitié du nombre entier suivant^

se rfimène successivement à celle des deux autres : Deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux \ Tout nombre qui en divise deux autres divise leur différence,

14. Si Ton se propose de résoudre un problème, on cherche aie ramener à un autre, souvent plus facile, qui donnera des solutions du premier; si la résolution de ce deuxième problème ne peut être immédiate, on le ramène à un troisième ; ce troisième, à un quatrième, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à un problème connu, dont chaque solution permet d'en trouver du problème proposé.

Comme exemple, citons le problème suivant :

Construire un carré équivalent à un polygone donné, auquel on substitue successivement ces trois autres :

Construire un triangle équivalent à un polygone donné ;

Construire un carré équivalent à un triangle donné ;

Construire la moyenne proportionnelle à deux droites données.

Lorsque tous les problèmes par lesquels on passe, de celui qui est à résoudre à celui qui est connu, sont soumis deux à deux, du premier au dernier, à des conditions réciproques, les ..solutions du dernier sont exactement celles du premier ; dans lé cas contraire, le dernier problème peut ne pas fournir toutes les solutions du premier, ou bien les fournir toutes et en contenir d'étrangères en plus, suivant que dans cet enchaînement de problèmes les conditions de chacun d'eux sont des conséquences, dans l'ordre descendant, du suivant ou du précédent.

15. De tout ce qui précède, il résulte que l'analyse estf une méthode d'invention ou d'investigation^ qui convient parti cul iè-