DO

de IC'x 7- H- 69'' = 144'', soit pour une journée de travail

iU" , 5

84 ' devait être.

g. = ^'V' valeur égale à la précédente, ainsi que cela

220 II. On a quatre tonneaux de différentes capacités ; avec le

fremier^ on remplit le deuxième et il en reste les — ; du

deuxième on remplit le troisième et il reste — du contenu; avec

le troisième on ne remplit que les -— - du quatrième; enfin, si l'on

remplissait le troisième et le quatrième avec le contenu du premier^ il resterait encore 15 litres. Quelle est la capacité de ces quatre tonneaux ?

Exprimons par une égalité, comme il suit, que la contenance du premier est égale à la somme de celles du troisième et du quatrième plus 15 litres

(1) !«' = 3« -4- 4« -4- 15 litres ;

cherchons eosuité ce que valent les contenances du troisième

e t du quatrième par rapport k celle du premier. Du deuxième

on remplit le troisième et il reste — du contenu, ce qui re-

vient à écrire

3e = — du 2\

Or, avec le premier on remplit le deuxième et il en reste

les -ir-' autrement dit :

2'= — du l*''.

Le troisième, valant les -p du deuxième, vaut, d'après cette

dernière relation, les — des — du premier, ce qui s'écrit :

3« = -|- X y du i" = ^ du 1-

D'autre part, avec le troisième on ne remplit que les —r- du

quatrième ; il en résulte que le quatrième est égal aux — du

i6 , 9 , 3«, par suite, aux — des — du premier, d'où la relation

4^ = -g- X Tg du 1- = — du 1".

En roprenant la relation (i) et en y remplaçant les expressions 3* et 4* par les valeurs que nous venons d'établir, on obtient

!•' = siT <ï^ ^'^'-H ■=• du V H- 15 litres,

on, en simplifiant,

i"= -53- du !•' + 15 litres.

Zo

Le problème est ainsi ramené au suivant :

Chercher un nombre qui est égal à ses — plus 15.

H ressort immédiatement de cet énoncé que 15 unités représentent une fraction du nombre cherché égale à Texcès de

roDÎté sur -— - ou à ■— et l'on est conduit à cet autre pro-

Zo Zo

blême :

Quel est le nombre dont les — - sont 15 ?

Ce nombre, par un raisonnement connu, est égal à

La contenance du premier tonneau est donc de 140 litres ;

celle du deuxième^ d'après renoncé du problème, est

de 140^ X — = 60 litres ;

celle du troisième, de 60^ X -r- = 45 litres ;

et celle du quatrième, de 45' x -3- = 80 litres.

On vérifie ces résultats en montrant que la somme des contenances du troisième et du quatrième plus 15 litres, ou 45*^80^-1-15^ = 140 litres, donne la contenance du pretnier.

221. m. Une personne dit à une autre : fai quatre fois l'âge que vou^ aviez quand j'avais l'âge que vous aveZy et quand vous aurez Vâge que fai^ nous aurons ensemble 95 ans. Calculer rage de chacune de ces deux personnes,

Il s*agit tout d'abord de chercher la différence des deux âges.

Soient pour fixer les idées d cette difTérence et a Tâge

actuel de Tainéedes deux personnes. D'après cela, Tâge actuel

de la plus jeune est a — d, et son âge, lorsque celui de Tatnée était a-^d, avait pour expression a — 2d. Or, d*après Ténoncé du problème, a est égal à 4 fois (a — 2e{),

ce qui revient à dire que le nombre à diminué de 2d n^est

plus égal qu'à son •— ; de sorte que 2(f, ou deux fois ladififé-

rence des âges des deux personnes, égalent les — de Tàge de

Tatnée ; il en résulte que cet âge de Tainée est égal aux —

g de 2rf ou aux — de d. D'autre part, lorsque l 'âge de la

seconde personne sera -^ d, celui de Taînée aura augmenté

de d et sera -^r- d. Mais comme à cette époque la somme de

leurs âges vaudra 95 ans, il s'ensuit que les —- de la diffé-

Il 19

rence des deux âges augmentés des -r-» soit les — de cette

différence, valent 95 ans ; cette différence est donc égale

à 95 : — - = 15 ans.

fi

Le problème est alors ramené au suivant :

Dans 15 ans, deux personnes auront ensemble 95 ans ; calculer Vâge de chacune d'elles^ sachant que la différence de leurs âges est de 15 années.

Actuellement la somme des deux âges est égale à 95 ans moins 2 fois 15 ans, ou à 95 ans — 30 ans = 65 ans.

La question est alors réduite à cette autre bien connue :

Trouver deux nombres dont la somme est 63 et la différence 15.

Le plus grand nombre, qui représente en années l'âge de l'aînée des deux personnes, est

et le plus petit, qui représente en années l'âge de la plus jeune,

est ^5 — 15 , ^^

Vérification. — Quand l'aînée des deux personnes avait 25 ans, l'autre avait 40 — 25 ou 15 ans de moins, c'est-à* dire 25 — 15 ou 10 ans : 40 est bien le quadruple de 10. Et quand la plus jeune des deux personnes aura 40 ans, Tautre aura 15 ans de plus, c'est-à-dire 40 4- 15 ou 55 ans, et les deox âges réunis donneront alors pour somme 404-56 ou 95 ans : c'est bien la seconde condition à laquelle devaient satisfaire les nombres trouvés.

§ m. — Méthode des proportions ou des rapports égaux «

222. La méthode des proportions s'applique à tous les problèmes dans lesquels les grandeurs qui y sont envisagées (connues et inconnues) donnent lieu à une ou à plusieurs égalités de rapports, dont on déduit les inconnues en s'ap» puyant sur la propriété fondamentale des proportions.

De ce nombre sont, en particulier, les problèmes de règle de trois, les problèmes relatifs aux partages proportionnels et tous ceux qui se ramènent à Tune ou k l'autre de ces catégories de questions, les problèmes d'intérêt et d'escompte pour la première, les problèmes de société et certaines questions de mélange et d'alliage pour la seconde.